高考数学必修知识讲解集合的基本关系及运算基础.doc

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1、集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．【要点梳理】要点一：集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，

2、用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：要点诠释：（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(propersubset).记作：AB(或BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系，则A与B中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作．要点二：集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合

3、B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x

4、xA，或xB}Venn图表示：要点诠释：（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x

5、xA，且xB}；交集的Venn图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与

6、B没有交集，而是．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：要点诠释：（1）理解

7、补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．4.集合基本运算的一些结论：若A∩B=A，则，反之也成立若A∪B=B，则，反之也成立若x(A∩B)，则xA且xB若x(A∪B)，则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集

8、与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一：集合间的关系例1.请判断①0{0}；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，正确的有哪些？【答案】②③④⑧【解析】①错误，因为0是集合中的元素，应是；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的为非空集合；⑤⑥⑦错误，是没有任何元素的集合．【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往

9、容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1){x

10、

11、x

12、≤1}{x

13、x2≤1}；(2){y

14、y=2x2}{y

15、y=3x2-1}；(3){x

16、

17、x

18、>1}{x

19、x>1}；(4){(x，y)

20、-2≤x≤2}{(x，y)

21、-1

22、集合M；（2）写出集合M的所有非空真子集．【思路点拨】对（1）根据A集合中的元素，，分类讨论B的可能情况，再注解a，写出集合M．根据含有n个元素的集合的真子集个数是2n－1，求解（2）．【答案】（1）M={0，3，－3}；（2）{0}