三角形中位线定理的证明.doc

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1、备课偶得——三角形中位线定理的再证明王贵林皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学241313三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。图1BCADE关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。已知：如图1，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，求证：DE∥BC且证法一、（构造法）如图2，延长DE到F，使EF=DE，连结AF、CF、DC图2BCADEF∵E为AC中点∴AE=CE∵EF=DE∴四边形ADCF为平行四边形∴CFAD∵D为AB中点∴AD=BD∴BDCF∴四边形DBCF为平行四边形∴DFBC∴D

2、E=EF∴DE∥BC且证法二、（构造法）如图3，过CF作CF∥AB交DE的延长线于F，则图3BCADEF∠A=∠ACF∵E为AC中点∴AE=CF∴△ADE≌△CFE（ASA）∴CF=AD∵D为AB中点∴AD=BD∴CF=BD∵CF∥BD∴CFBD∴四边形DBCF为平行四边形∴DFBC∴△ADE≌△CFE∴DE=EF∴DE∥BC且C图4BADEFE′证法三、（同一法）如图4，过D作DE′∥BC，交AC于E′，过E′作E′F∥AB，交BC于F，则图5BCADE∠B=∠ADE′=∠E′FC，∠AE′D=∠C四边形DBFE′是平行四边形∴E′F=BD∵D为AB中点∴AD=BD∴E′F=AD∴△ADE

3、′≌△E′FC（AAS）∴AE′=CE′即E′为AC中点∵E为AC中点∴E与E′重合即DE∥BC，△ADE≌△EFC，四边形DBFE为平行四边形∴DE=CFDE=BF即∴DE∥BC且证法四、（相似法）如图5，∵D、E分别为AB、AC中点∴∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC∴∠ADE=∠B∴DE∥BC且图6BCADEFG证法五、（旋转拼图法）如图6，以AC的中点E为中心，将△ABC绕点E旋转180°得△ACF，取CF中点G，连结EG、DG，则四边形ABCF为平行四边形∴AFBC∵D、G分别为AB、CF的中点∴ADFG∴四边形ADGF为平行四边形∴DGAFBC∵CF∥AB∴∠DAE=∠GCE∴△A

4、DE≌△CGE（SAS）∴∠AED=∠CEG∴D、E、G在一条直线上∴DE∥BC∵△ADE≌△CGEHG图7BCFMADE∴DE=EG∴∴DE∥BC且证法六、（面积法）如图7，取BC中点F，连结AF、EF，分别过A、E作AH⊥BC，EG⊥BC，垂足分别为H、G，过D作DM⊥BC于M，则∴∵F为BC中点∴同理∴DMEG∴四边形DMGE为矩形O（B）CADE图8∴DE∥BC同理EF∥AB∴四边形DBFE为平行四边形∴DE=BF∵∴DE∥BC且证法七、（解析法）如图8，以点B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，不妨设A（a，b）C（c，0）（c＞0）则，D（），E（）则DE∥x轴，DE=∵BC

5、=c∴DE∥BC且证法八、（三角法）如图9，取BC中点F，连结EF，设AB=2c，AC=2bBC=2a，∠A=α则AD=c，AE=b，在△ADE中，在△ABC中，图9BCADEF∴∴BC=2DE∵F为BC的中点∴DE=BF同理EF=BD∴四边形DBFE为平行四边形∴DE∥BF即DE∥BC且