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1、§4.常见的数学建模方法(1)---数据拟合（曲线拟合）法在建立数学模型时,实际问题有时仅给出一组数据.处理这类问题的较简单易行的方法是通过数据拟合法求得“最佳”的近似函数式---经验公式.从几何上看就是找一条“最佳”的曲线,使之和给定的数据点靠得最近,即进行曲线拟合.根据一组数据来确定其经验公式,一般可分为三步进行:（1）决定经验公式的形式.根据所描绘的系统固有的特点,参照已知数据的图形和特点或者它应服从的规律来决定经验公式的形式.这一步是关键的一步.（2）决定经验公式中的待定参数.一般可用线性情况下的最小二乘法.它误差较小,适用于测定数据比较精确的情况
2、.在使用最小二乘法时,如遇到数学模型是非线性经验公式时其中参数的待定,通常是尝试能否经适当的变量替换,将之化为线性模型来计算.（3）进行模型检验.求得确定的经验公式后,将实际测定值与用公式算出的理论值进行比较.线性模型下的最小二乘法法则是：如果一组数据为：（xi,yi）,(i=0,…,n)，它服从线性函数y=kx+b模型,则在决定经验公式的形式时,大致思路是:a)利用所研究系统的有关问题在理论上已有的结论,来确定经验公式的形式.b)在无现成理论情况下,最简单的处理手段是用描图的方法,将数据点连成光滑曲线,把它与已知函数曲线进行比较,找出与之比较接近的曲线.
3、c)如要考虑所建立的模型必要的逻辑性与理论价值,可利用合适的数学方法,对所研究系统的有关问题进行定量化的机理分析,导出较为严密的数学公式.实例1.找出基于下列数据的铜棒长度l与温度t之间关系的经验公式.温度t(0C)20405060对应长度l(mm)1000.21000.651000.901001.05建模过程:利用已有的物理学固体热胀冷缩定律:l=l0(1+at)作为该组数据应服从的数学模型，如记l-1000=l’,l0–1000=b,al0=k,则有l’=b+kt.可以算得：根据最小二乘法公式，可得：l=999.804（1+0.0000212t）.最后
4、检验该模型(经验公式):tl(测定值)l*(计算值)v=l-l*v2201000.221000.228+0.0080.000064401000.651000.652+0.0020.00004501000.91000.864-0.0360.001296601001.051001.074+0.0240.000576残差的平方和为:Σv2=0.00194,这个结果应该说是较好的.实例2.找出基于下列数据的油的粘度y与温度x之间关系的经验公式.建模过程:无现成机理明确的公式,使用描点比较法：可以认为该光滑曲线相似于一条双曲线,故设其数学模型为y=axb(b<0).
5、为了将它化为线性模型,两边取对数，再作变量替换：Y=lny,X=lnx,即得线性模型：Y=A+bX,其中A=lna,而(X,Y)的数据为:（lnxi,lnyi）,(i=1,…,8).用最小二乘法算得：a=17.2463,b=-0.6048.由此最后可得到油的粘度y与温度x之间依赖关系的数学模型为:检验该模型(经验公式):y=17.2463x-0.6048.iy(测定值)y*(计算值)v=y-y*v214.244.28+0.040.001622.922.82-0.100.0132.202.200041.811.85+0.040.001651.611.62+0
6、.010.000161.431.45+0.020.000471.321.320081.251.22-0.030.0009残差的平方和为:Σv2=0.0146,这个结果应该说也是较好的.说明:该例中的变量替换方法运用,使得线性模型的最小二乘法公式应用范围大大扩大.常见的非线性模型的变换方式如下表所列:曲线变换变换后的线性表示式幂函数y=axbx’=lnx,y’=lnyy’=lna+bx’指数函数y=aebxx’=x,y’=lnyy’=lna+bx’双曲函数y=x/(ax+b)x’=1/x,y’=1/yy’=a+bx’对数函数y=a+blnxx’=lnx,y’
7、=yy’=a+bx’指数函数y=aeb/xx’=1/x,y’=lnyy’=lna+bx’S型函数y=1/(a+be-x)x’=e-x,y’=1/yy’=a+bx’实例.找出基于下列数据的美国马萨诸塞州生产量、劳动力和投资之间变化的经济增长模型（道格拉斯Douglas生产函数模型）实例3.某研究所为了研究三种肥料氮,磷,钾对于土豆和生菜的作用,分别对每种作物进行了三组试验.实验数据如下列表格所示,其中ha表示公顷,t表示吨,kg表示千克.试建立反映施肥量与产量关系的数学模型.氮施肥量(公斤/公顷)与土豆产量（吨/公顷）关系的实验数据施肥量0346710113
8、5202259336404471产量15.1821.3625.72
