三角形中的角平分线.ppt

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1、4角平分线北师大版八年级下册第1课时角平分线的性质定理及逆定理1、什么叫角平分线？3、你还记得角平分线上的点有什么性质吗?2、如何用尺规作角的平分线？如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线。２．分别以M，N为圆心．大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．如何用尺规作角的平分线？ABOMNC作法：１．以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．３．作射线OC．则射线OC即为所求．请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同桌进行交流.命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等条件：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠A

2、OB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB.求证：PD=PE.∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)，∴∠1=∠2(角平分线的定义)。∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO(已证)，∠1＝∠2(已证)，OP＝OP(公共边)，∴△PDO≌△PEO(AAS)。12ABDEPOC用符号语言表示为：∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.交换定理的条件和结论得到的命题如何叙述？注：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.角平分线性质定理:角平分线上的点到这

3、个角的两边距离相等.12ABDEPOC你能写出它的逆命题吗？′思考逆命题在角的内部到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.它是真命题吗?如果是.请你证明它.已知:如图,点P为∠AOB内一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E，且PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上.分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠AOC=∠BOC.OCBAPDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中,∵OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．∴

4、点P在∠AOB的角平分线上.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.判断下列推理是否正确（1）如图，∵AD平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC∴PE=PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）（2）如图，∵PE=PF∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）（3）如图，∵点P在∠BAC的平分线上∴PE=PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）ABCDEFP（对）（错）（错）判断下列推理是否正确ABCDEFP（4）如图，∵PE⊥AB，PF⊥AC∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）（错）（5）如图∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE

5、=PF∴点P在∠BAC的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）（对）例1如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求DE的长.ABCDEF解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.∴在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，1、已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.ABCMNP图1求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.定理:三角形的三条角平分线相交

6、于一点，并且这一点到到三条边的距离相等。证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD＝PE同理：PE＝PF∴PD＝PE＝PF即点P到三边AB，BC，CA的距离相等ABCMNP图1DEF求证：P在∠A的平分线上HEGABCP图22、已知：如图2，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.证明：作PE⊥AB，交AB延长线于E。PH⊥BC于H，PG⊥AC，交AC的延长线于点G∵BP是角平分线∴PE=PH∵PC是角平分线∴PH=PG∴PE=PG∴P在∠A的平分线上HEGABCP图23、如图，某个居民小区C附近有

7、三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P。小区CP4、在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB