数学模型——切蛋糕.ppt

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1、数学建模——切蛋糕问题问题重述：能否将一个不规则形状的蛋糕平分成两块？问题分析：即要求的问题可以转化为是否存在某条直线型（刀切割所造成的）路径，将蛋糕等分成大小相等的两块模型假设：假设蛋糕上每一点到所放平面的距离都相等且蛋糕边缘顶点与底边对应点的连线垂直于桌面。（理想状态下可以转化为平均分配蛋糕面积）设二维坐标平面上有一任意形状封闭曲线f(x,y)=0,曲线内部所有的点构成集合G={(x,y)

2、f(x,y)≤0},任取曲线内部一点A(x。，y。)，过该店任作一条直线y=ax+t(a,t均为任意实数).已知y。=a*x

3、。+t成立，即a=(y。-t)/x。，直线可表示为y=(y。-t)/x。*x+t则M1={(x,y)

4、y>(y。-t)/x。*x+t}M2={(x,y)

5、y≤(y。-t)/x。*x+t}S1=G∩M1所围成的面积S2=G∩M1所围成的面积那么一定存在t。使S1=S2成立.模型求解：设函数f(t)=S1-S2,则f是仅与t有关的函数，定义域为【—∞，+∞】显然，f(—∞)*f(+∞)<0,又f(t)在定义域上连续，根据连续函数的零点存在定理，有f(t)在区间【—∞，+∞】上必存在一个t。使f(t。)=0,即S1=

6、S2成立。命题显然成立。附：实际生活中拉橡皮筋、放稳椅子、切蛋糕、上山下山等等实际问题都是用零点定理来解决的。在这些问题中我们只是证明了这样的点或者直线是肯定存在的，但是这条直线的表达式是什么？我们还是没办法具体的求出一个值我们可以把蛋糕看成是一个形状不规则但密度处处相等的立体图形，通过悬吊法确定重心的位置，切蛋糕时，切过重心，就得到质量相等的两块蛋糕。（把蛋糕吊起来没有可行性）找一个细长的棍状物放在蛋糕下面（例如筷子），旋转蛋糕以使筷子通过蛋糕上p点相应的位置，然后找到平衡点，沿着筷子的方向切就是了

7、。具体实际操作1.假设1）、假设蛋糕形状不规则，但是蛋糕的密度处处均匀，并设其质量和底面积分别为1m，1S，在其顶部任找一点P，并标记；2）、假设现有一个至少50cm深的容器，保证其口径的大小是蛋糕底面积的2倍以上；3)、假设现有一块厚度和质量忽略不计的不透水的薄膜，其大小足以能包裹好蛋糕，还有一根质地均匀的木棍，保证其质量不会把蛋糕压坏。2 .操作1）、在容器中注入大概是容器体积的2/3的水，将用薄膜平整包好的蛋糕，放在容器里的水面上，让其静止不动时（没有其他因素的干扰，譬如风吹，震动等），然后将木棍，轻轻地放

8、在蛋糕上，让其经过点P使蛋糕任然保持平衡，并沿着木棍的路径做好标记。2）、将蛋糕取出，撕掉薄膜，用刀沿着标记的路线切开，就可以将蛋糕一分为二了。谢谢观看！