【精品课堂】2017年七年级数学下册2.2乘法公式构造”完全平方公式”解题素材（新版）湘教版

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1、构造”完全平方公式”解题完全平方公式是初中代数公式中重中之重的公式，在许多数学解题中若能根据题目的结构特点，构造出完全平方公式解题，往往能使求解简捷.现举例说明.一、处理有关比较复杂的有理数的计算问题例1　计算：1.345×0.345×2.69－1.3453－1.345×0.3452.简析　1.345×0.345×2.69－1.3453－1.345×0.3452＝－1.345(1.3452+0.3452－0.345×2.96)＝－1.345[(1.345－0.345)2+2×1.345×0.345－0.345×2.96]＝－1.345×12＝－1

2、.345.说明　在有关复杂的数字计算中，如能抓住数字特点，巧用完全平方公式的变形式，可简化运算过程，提高运算效率，培养良好的数学素质.本题计算时，先逆用乘法的分配律，将－1.345移到外面，再巧妙地运用完全平方公式.二、处理有关比较复杂的代数式求值问题例2　已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，试求：a4+b4+c4的值.简析　乍看待求式和已知条件毫无关系，但细细琢磨一下，可将c视为已知数，对a、b构造完全平方公式.即由已知条件，得a+b＝－c，a2+b2＝4－c2.而ab＝[(a+b)2－(a2+b2)]＝[(－c)2－(4－c2)]＝c2

3、－2，所以a4+b4＝(a2+b2)2－2a2b2＝(4－c2)2－2(c2－2)2＝8－c4.所以a4+b4+c4＝8.说明　利用完全平方变形式可以巧妙、灵活的求出较复杂的代数式的值.三、确定最大或最小值问题例3　试求多项式x2+4y2－8x+12y+5的最小值.简析　由于x2+4y2－8x+12y+5＝x2－8x+16+4y2+12y+9－20＝(x－4)2+(2y+3)2－20.而(x－4)2≥0，且(2y+3)2≥0，所以(x－4)2+(2y+3)2－20的最小值为－20，即多项式x2+4y2－8x+12y+5的最小值是－20.说明　学习

4、了完全平方公式，配方则灵活运用完全公式行之有效的一种途径，所以同学们应熟练记忆一些有关完全平方公式的一些变形等式.如，（1）a2+b2＝(a+b)2－2ab＝(a－b)2+2ab；（2）ab＝[(a+b)2－(a2+b2)]＝[(a+b)2－(a－b)2]＝；（3）(a+b)2+(a－b)2＝2a2+2b2；（4）a2+b2+c2－ab－bc－ca＝[(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2].等等.四、解特殊结构特点的方程例4　解方程：x2+y2+z2－x+6y－10z+31＝0.简析　将原方程变形为：x2－x++y2+6y+9+z2－10z+

5、25＝0.所以(x－)2+(y+3)2+(z－5)2＝0，此时由非负数的性质“若干个非负数的和为零，这几个非负数均为零”，得(x－)2＝0，(y+3)2＝0，(z－5)2＝0，解得x＝，y＝－3，z＝5.所以原方程的解是：x＝，y＝－3，z＝5.说明　一个方程含有几个未知数，要求其解，一般只有通过智取，不能强攻，通常想到利用配方，运用非负数的性质等等知识求解.另外，遇到此类问题，一般一些常数的分解规律：5＝1+4，10＝1+9，13＝4+9，34＝9+25，等等，即一般分解成两个或几个完全平方数即可.