多边形内角和及外角和讲义.doc

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1、多边形内角和及外角和讲义第一讲三角形内角和及外角和一、谜语导入：形状似座山，稳定性能坚。三竿首尾连，学问不简单。大家都知道，我们几何都是由线段组成的各种图形，最简单的也就是三条线段围成的闭合图形，但是我们谜面上却说“学问不简单”！好，那么它到底多神秘？我们先从三角形内外角和讲起。二、基础知识回顾：第一部分：三角形内角和180°。(只知道两角的三角形碎纸可以求出另一角么？)证法1，把三个角剪下来拼凑成一个平角180°，这是我们小学法。证法2，利用平行线法，这是初中生应该掌握的。三角形ABC中，过点A做EF平行于BC方法很多种，就靠我们自己去发现，去掉

2、EA这段，延长BA至E，同样可利用平行线法证出内角和180°。后面方法很多，同学们自己去发现，去探讨。法3：利用平行线把三角形做成一个平行四边形，即两个ABC的内角和（四边形内角和360°），故三角形ABC内角和180°。这也是证明四边形内角和的主要方法。（同学们可以借鉴此法推断其它多边形内角和。）由三角形内角和180°，可知两个特殊的三角形：⑴直角三角形，直角外的两角互补。⑵正三角形的三个角都为60°。第二部分：三角形的外角和。三角形一条边与另一条边的延长线组成的角叫外角性质1一个外角等于不相邻的两内角和性质2外角与相邻内角互补性质3三角形的外角

3、大于不相邻的任一内角性质4三角形的外角和为360°由逆反思维提出三角形的外角和怎么证明呢？由定义三角形ABC中∠A的外角=∠B+∠C∠B的外角=∠A+∠C=>外角和=2(∠A+∠B+∠C)=360°∠C的外角=∠A+∠B多边形外角和都是360°，请同学们思考我们如何得出来的？三、实战秒杀计详解：例1、三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=2：3：4，那么∠A、∠B、∠C对应的外角度数比如何？内角和法：设每份X，得出2X+3X+4X=180°，得X=20°=>∠A=40°∠B=60°∠C=80°=>对应外角140°，120°，100°故比为7:6:5。外

4、角和法：设每份X，由三角形外角和360°得出有：180°－2X+180°－3X+180°－4X=360°，得X=20°=>对应外角140°，120°，100°故比为7:6:5。提高法：设每份X，三角形∠A、∠B、∠C对应为2X、3X、4X，那么他们对应的外角应为（3X+4X）、（2X+4X）、（2X+3X），我们不用解直接得到比为7:6:5。例2、如图，求五个角的度数和。解：标出∠6，∠7∠6=∠1+∠3，∠7=∠2+∠5故∠4+∠6+∠7=180°即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°同理，我们也能分出其他三角形解出。这种类型的题主要锻炼我们的

5、识图、分图能力。例3、如图示，∠1=80°，∠2=70°，求∠CEA，∠BDA的度数。我们观察出，题中三角形可以还原成一个完整的三角形，如下图。∠ADE=∠A`DE∠1=80°∠AED=∠A`ED∠2=70°∠BDA=180°－80°×2=20°∠CEA=180°－70°×2=40°提高点：关于这类型的题我们都可以推本溯源找到其母体所在，再分析问题就简单多了。模型一：已知∠ADE、∠AED，猜想∠CEA和∠BDA与∠A的关系。同理，把三角形母体示意出来，如图∠BDA=180°－2∠1∠CEA=180°－2∠2∠A=180°－(∠1＋∠20)=>∠B

6、DA+∠CEA=2∠A模型二：如图，已知∠ADE、∠AED，猜想∠CEA和∠BDA与∠A的关系。把三角形母体图示意如右∠CED=180°－∠AED∠CEA=∠AED－∠CED=2∠AED－180°∠BDA=180°－2∠ADE∠A=180°－（∠ADE+∠AED）=>∠BDA－∠CEA=2∠A模型三：如图，已知∠ADE、∠AED，猜想∠CEA和∠BDA与∠A的关系。把三角形母体图示意如右∠BDE=180°－∠ADE∠BDA=∠ADE－∠BDE=2∠ADE－180°①∠CED=180°－∠AED∠CEA=∠CED－∠AED=180°－2∠AED②∠A

7、=180°－∠AED－∠ADE③联立①②③，可得∠CEA－∠BDA=2∠A四、实题演练（2013，中考原题）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B多少（95°）第二讲多边形内角和及外角和三角形是最简单的几何图形，我们已经学了其内外角和，那么多边形的内外角和又有什么特点呢？一、老师上一讲留了两个悬念给大家，不知道同学们课后有没有思考呢？①五边形的内角和怎么去算？②怎样证明多边形外角和都是360°？二、知识回顾：1、四边形内角和任意一个四边形只要连接一条对角线都可以分成两个

8、三角形，故四边形内角和为2×180°也可如右图，在四边形中间取一点再连接各顶点，可以构成四个三角形，那么四边形内角和表示为