（新课程）高中数学 讲末质量评估3 新人教A版选修4-5

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1、讲末质量评估(三)(时间：90分钟　满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知a，b，c都是正数，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式中正确的是(　　)．A．(a＋b＋c)2≥3B．a2＋b2＋c2≥2C.＋＋≤2D．a＋b＋c≤解析　用3(ab＋bc＋ca)≤(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)易得．答案　A2．若x>1，则函数y＝x＋＋的最小值为(　　)．A．16B．8C．4D．非上述情况解析　y＝x＋＋，

2、令t＝x＋>2(因x>1)．∴y＝t＋≥2＝8.当且仅当t＝，即t＝4时取等号．答案　B3．设a，b，c，d∈R，m＝＋，n＝，则m与n的大小关系是(　　)．A．mnC．m≤nD．m≥n解析　m＝＋≥＝n.答案　D4．设实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，当x＋y＋d≥0恒成立时，d的取值范围是(　　)．A．[＋1，＋∞)B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，＋1]解析　运用三角换元法．令x＝cosθ，y－1＝sinθ，∴x＋y＝sinθ＋cosθ＋1＝sin＋1，6从而1－≤x＋y≤1＋，故d≥－(x＋y)恒成

3、立，必有d≥－(1－)＝－1.答案　C5．已知＋＝1(a＞b＞0)，设A＝a2＋b2，B＝(x＋y)2，则A、B间的大小关系为(　　)．A．ABC．A≤BD．A≥B解析　A＝a2＋b2＝1·(a2＋b2)＝(a2＋b2)≥2＝(x＋y)2＝B.即A≥B.答案　D6．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是(　　)．A．2B.C.D.解析　(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，因此，＋＋≤.当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时取等号．答案　C7．已知a，b，c∈R＋，A＝a3＋b3＋c3，B＝

4、a2b＋b2c＋c2a，则A与B的大小关系为(　　)．A．A≥BB．A≤BC．A＝BD．A与B的大小不确定解析　取两组数：a，b，c与a2，b2，c2，显然a3＋b3＋c3是顺序和，a2b＋b2c＋c2a是乱序和，所以a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，即A≥B.答案　A8．函数y＝3＋4的最大值为(　　)．A.B．5C．7D．11解析　函数的定义域为[5,6]，且y>0.y＝3×＋4×≤×＝5.6当且仅当＝.即x＝时取等号．所以ymax＝5.答案　B9．设a，b，c，d为正数，a＋b＋c＋d＝1，则a2＋b2＋c2＋d2的最小值

5、为(　　)．A.B.C．1D.解析　由柯西不等式(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)≥(a＋b＋c＋d)2，因为a＋b＋c＋d＝1，于是由上式得4(a2＋b2＋c2＋d2)≥1，于是a2＋b2＋c2＋d2≥，当且仅当a＝b＝c＝d＝时取等号．答案　B10．设a1，a2，a3为正数，m＝＋＋，n＝a1＋a2＋a3，则m与n的大小关系为(　　)．A．m≤nB．m≥nC．m>nD．m＝n解析　不妨设a1≥a2≥a3>0，于是≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·a

6、1a2＝a1＋a2＋a3.故选B.答案　B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)11．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值是________．解析　∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋b＋c)6＝3＋＋＋＋＋＋，∴＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，则＋＋≥9＋1＝10.答案　1012．已知x>0，y>0，且2x＋y＝6，则＋的最小值为___________________________________________________________．解析　＋＝(2x＋y)＝[()2＋()2]

7、·≥2＝(＋1)2＝，当且仅当·＝·，即x＝y时取等号．答案　(3＋2)13．设实数a1，a2，a3满足条件a1＋a2＋a3＝2，则a1a2＋a2a3＋a3a1的最大值为________．解析　由柯西不等式，(a＋a＋a)(12＋12＋12)≥(a1＋a2＋a3)2＝4，于是a＋a＋a≥.故a1a2＋a2a3＋a3a1＝[(a1＋a2＋a3)2－(a＋a＋a)]＝×22－(a＋a＋a)≤2－×＝.答案　14．函数y＝cos2x(1＋sinx)的最大值为__________.解析　y＝(1－sin2x)(1＋sinx)＝(1－sinx)(

8、1＋sinx)·(1＋sinx)＝4(1－sinx)··≤43＝4×＝6等号成立⇔1－sinx＝⇔sinx＝.答案　三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤