线性代数之同解方程题型

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1、例1设为阶实矩阵,则以下命题成立的是(C).(A)若有解时也有解,则必可逆;(B)若有解时也有解,则必可逆;(C)的解必是的解;(D)的解与的解无任何关系.解与同解.例2设两个四元齐次线性方程组:与问方程组与是否有非零的公共解?若有,求出所有公共的非零解;若没有,说明理由.（两个方程型）解讨论方程组是否有非零解.,因为,所以方程组有非零解,即方程组与有公共的非零解,且为所有公共的非零解.例3设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为;（1个方程1个通解型）（1）求线性方程组（Ⅰ）的基础解系;（2）问线性

2、方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.解(1)线性方程组（Ⅰ）的解为.取,得所求基础解系.(2)将方程组（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）,得.当时,方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）有非零公共解,且为其中为不为零的任意常数.例4已知齐次线性方程组（Ⅰ）的通解为,又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为.求线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的非零公共解.（2个通解型）解令,解得.当时,方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的非零公共解为其中为不为零的任意常数.【注意】求两个线性方程组和的公共解的方法.(1)若已知两个方程组和,

3、则求它们的公共解就是求的解;(2)若已知一个方程组和另一个方程组的通解(方程组未知),则求它们的公共解的方法是:将的通解代入到已知方程组中,解出的通解中任意常数的条件(如果任意常数无解,则无公共解),再代入的通解中,从而得到方程组和的公共解;(3)若已知两个方程组和的通解(两个方程组未知),则求它们的公共解的方法是:令两个方程组的通解相等,只要解出一个方程组(不妨设为)的通解中的任意常数的条件(如果任意常数无解,则无公共解),再代入的通解中,从而得到方程组和的公共解.(4)对于两个齐次线性方程组,由于它们总有公共的零解,因此

4、关于它们公共解的讨论为它们是否有公共的非零解.