利用导数判断函数的单调区间

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1、利用导数判断函数的单调区间运用导数判定函数单调性的方法：若、厂（0>0,则函数y=/（x）在区间be］上单调增加；若fx）<0,则函数y=/（x）在区间［⑦切上单调减小.确定函数单调区间的方法：（1）确定函数y二/（劝的定义域@上）；（2）求导数.厂⑴；（3）令fx）=0,求出区间（a,b）内的全部实根，并按照从小到大的顺序排列为：c2,,cn；（4）确定区间（a,cj,（（?!,c2）（q,b）内导数的符号；（5）在某区间内,若fx）>0,则函数/（兀）在该区间内递增；若fx）<0,则函数/（x）在该区间内递减.1•看图说话例1已知函数y=

2、xfx）的图彖如图1所示（其中广（兀）是函数/'（无）的导函数），下面四个图象中y=/（x）图象大致为（）.y.0一2、212'■-1(A)解析：由图1知，当x<-时，护(x)<0‘yC■2・・・/‘（兀）>0,/'（X）为增函数，表现在图彖上是上升的.I当一1vxv0时，:rf'(x)>0.-2-110J12久图1/.<0,/（兀）为减函数，表现在图象上为下降的.当0VJVV1时，xfx）<0,fx）<0,/（x）为减函数，表现在图彖上为下降的.当兀>1时，#7兀）>0,・・・/©）>0,/（x）为增函数，表现在图象上为上升的.由以上分析

3、知，（C）符合.点评：函数的单调性和导函数之间的联系密切，实际上曲线y=/（%）的切线的斜率就是函数/（兀）的导数，当切线的斜率为正，即fx）>0时，/&）为增函数，同样当切线的斜率为负，即fx）<0时，/（Q为减函数，做此类题时需要对导数含义深刻理解.2.求单调区间例2设。>0,求函数/（x）=Vx-ln（x+a）,兀w（0,+x）的单调区间.解：—土(x>0),>0oX?+（2°-4）x+a，>0,/z（x）v0o兀2+（2a一4）x+a?<0,（1）当d>l时，对任意兀〉0都有fx）>0,此时/（兀）在（0,+oo）上单调递增.（2）当a

4、=l时,对"1,有fx）>0,此时/（x）在（0,1）上单调递增,在（l,+oo）内单调递增，又函数/&）在x=l处连续，因此，/（兀）在（l,+oo）内单调递增.(3)当0vgv1时，令.厂(兀)>0,得兀<2—。一2丿1或x>2—a+2jl-a,令v0得2-a-2J1—a

5、取值范围，然后再来求导判断符号.3.判断单调性例3证明函数冷）=兀+4在（2,4）上是减函数.证明:广（兀）=1一,当21,・•・.4)=I-vO即fx)<0,・•・函数/（X）=X+4(兀-在（2,4）上是减函数.点评：该题也可以用定义法证明函数的单调性，但是导数法要比定义法简单得多.4、逆向问题例4若函数/(兀上丄X一丄仮2+@一1)兀+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+oo)内3为增函数，求实数d的取值范围.解：由fx)=X2-6TX4-6f-l=0,得到兀]=1,x2=-1,而函

6、数=/(X)的定义域是(_oo,+oo),先求出函数的增减区间.(1)当x2<%],即G-lvl,a<2时，%],七把(一00,*00)分为三个区I'可(一8卫一1),(。-1,1)‘(1,+°°)•当(-oo,6Z-l)时'fx)=(X-1)[%-(6/-1)]>0;当XE(tZ-1,1)时，fx)<0,当兀G(l,+oo)时，fx)>0.故当a<2时，/(x)在(-oo^-l)和(l,+oo)内为增函数，/(Q在(t/-1,1)内为减函数，而由题意，/(兀)的增区间为(6,+oo),减区间为(1,4),显然(6,+oo)不是(—00,0—1

7、)和(l,+oo)的子区间，(1,4)也不是3-1,1)的子区间，故不符合题意.(2)当€1-1=1,即a=2时，x,=x2=1把区间分为(-00,1)和(l,+oo)。对这两个区间，均有广(兀)=&—1)2>0,即/(兀)在(-00,1)和(l,+oo)上均为增函数，显然与题意不符合.(3)当兀2>，即a>2时，兀],兀2把(一00,*00)分为3个区间：(一8,1),(1卫一1),(°_1,+8)・当xw(-8,1)时,fx)>0；当兀w(1,q_1)时,/'(%)<0:当xw(a_l,+8)时，fx)>0.故当(1>2时，/(兀)的增区间是

8、(-00,1)和(d—l,+oo),/(兀)的减区间是(1<一1),而由己知的/(X)的增区间是(6,+oo