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1、抢渡长江的另一种数学模型1160m1000m长江水流方向终点:汉阳南岸咀图1起点:武昌汉阳门门问题：“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，定于每年的5月1日进行。由于水情、
2、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。当日的平均水温16.8℃，江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线,两岸的垂直距离为1160米,从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米，见图1。下面借
3、助数学模型解决如下问题：（1）假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89米/秒。如果2002年第一名是按最优路径游泳的，试说明她是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。（2）在（1）的假设前提下，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择最佳的游泳方向，并估计他的成绩。（3）在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游,他(她)们能否到达终点？并说明为什么1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件
4、。（4）流速沿离岸边距离的分布为(设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向)：(1)游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。（5）流速沿离岸距离为连续分布游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。一、模型分析（略）二、模型假设（1）在游泳过程中，游泳者的速度可以保持恒定不变（2）竞渡区域内各点水流速度不变（3）两岸是保持平行的（4）游泳过程中游泳者之间互不影响三、模型建立1.设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化
5、，即令，而流速，其中u和v为常数,q为游泳者和x轴正向间的夹角。于是游泳者的路线(x(t),y(t))满足yxL0Hquv图1(1)T是到达终点的时刻。令，如果(1)有解,则（2）因为所以游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且（3）若已知L,H,v,T,由（3）可得（4）由（3）消去T得到（5）给定L,H,u,v的值，z满足二次方程（6）（6）的解为（7）方程有实根的条件为（8）为使（3）表示的T最小，由于当L,u,v给定时,，所以(7)中z取较大的根,即取正号。将（7）的z1代入（3）即得T，
6、或可用已知量表示为（9）以H=1160m,L=1000m,v=1.89m/s和第一名成绩T=848s代入（4），得z=-0.641,即q=117.50，u=1.54m/s。2.以H=1160m,L=1000m,v=1.89m/s和u=1.5m/s代入（7），（3），得z=-0.527,即q=1220，T=910s，即15分10秒。3.游泳者始终以和岸边垂直的方向（y轴正向）游,即z=0,由（3）得T=L/v≈529s,u=H/T≈2.19m/s。游泳者速度不可能这么快，因此永远游不到终点,被冲到终
7、点的下游去了。式（8）给出了能够成功到达终点的选手的速度，其几何意义为：以速度向量的终点为圆心，为半径做半圆，O与半圆上任意一点的连线为可能的合速度方向，当小于到OA的距离时，合速度方向一定指向终点A的下游，游泳者无法到达终点。反之，当为半径的半圆与OA有唯一交点时，合速度方向就是最优的游泳方向。当为半径的半圆与OA有两个交点时，合速度大的方向就是最优速度。对于2002年的数据，H=1160m,L=1000m,v=1.89m/s，只要u>1.43m/s就能到达终点。假设1934年竞渡的直线距离为5
8、000m,垂直距离仍为H=1160m,则L=4864m,仍设v=1.89m/s，则游泳者的速度只要满足u>0.44m/s，就可以选到合适的角度游到终点.。两次游到终点人数百分比差别的主要原因是游泳者路线（速度方向与水流方向的夹角）选择错误，被流水冲到下游。L1CDBq2q1H3H1uuAq3uL2H2v2v1v3图2L14.如图2，H分为H=H1+H2+H33段，H1=H3=200m,H2=760m,v1=v3=1.47m/s，v2=2.11m/s,游泳者的速度仍为常数u=1.5m
