线性二次型指标的最优控制

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1、12021年7月24日第8章线性二次型指标的最优控制8.3线性定常系统的状态调节器问题8.4输出调节器问题李芳燕罗婧李一飞李东芳安海潮8.3线性定常系统的状态调节器问题问题引入1举例说明3定理内容及说明2BeihangUniversity问题引入对于上一节所讨论的状态调节器，即使系统的状态方程和性能指标是定常的，即矩阵A,B,Q,R均为常数矩阵时，其系统总是时变和系统最优反馈增益是时变的，这是由于黎卡提方程的解K(t)是时变的缘故。BeihangUniversity问题引入由例8-1的结果，从结果图中受到启发，当

2、终端时间tf趋于无穷时，K(t)将趋于某常数，即K(t)可视为恒值。tf=10时黎卡提矩阵微分方程的解K(t)BeihangUniversity问题引入K(t)将趋于某常数，即K(t)可视为恒值，从而得到所谓无限时间(tf=∞)状态调节器或稳态状态调节器。tf=1000时黎卡提矩阵微分方程的解K(t)BeihangUniversity问题引入对于无限时间状态调节器，通常在性能指标中不考虑终端指标，取权阵P=0，其原因有：一是希望tf→∞，x(tf)=0,即要求稳态误差为零，因而在性能指标中不必加入体现终端指标的终

3、值项；二是工程上仅参考系统在有限时间内的响应，因而tf→∞时的终端指标将失去工程意义。BeihangUniversity问题引入性能指标为：式中，Q，R均为常数对称正定阵，u无约束。由于P=0，所以K(tf)=K(∞)=P=0。从t=∞开始逆时间积分黎卡提矩阵微分方程，当K(t)的解存在且唯一时，经过一段时间，K(t)将达到稳态值，因此可认为在t=0开始很长一段时间内，K(t)是黎卡提微分方程的稳态解，即有在稳态时，，从而可将黎卡提矩阵微分方程化为黎卡提代数方程，解出的K阵为常值矩阵。和二次型性能指标为Beiha

4、ngUniversity定理内容及说明可控的或至少是可稳的线性定常系统的状态方程为式中，u不受限制，Q和R为常数对称正定阵，则使J为极小的最优控制存在，且唯一，并可表示为式中，K为正定常数矩阵，满足下列的黎卡提矩阵代数方程在最优控制下，最优轨线是下面线性定常齐次微分方程的解，即所对应的性能指标的最小值为BeihangUniversity定理内容及说明对于以上结论，作如下几点说明：1.适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳；而在有限时间状态调节器中则不强调这一点。因为在无限时间调节器中，控制区间扩大为无穷，为

5、了保证积分值有限，x(t)和u(t)要收敛到零，也就是受控系统的状态变量必须是渐进稳定的。如果系统可控，则通过状态反馈可任意配置闭环系统极点，使系统渐进稳定。可控的条件可减弱为可稳，即只要不稳定的极点所对应的模态可控，通过反馈将它变为稳定即可。对有限时间调节器来讲，因为积分上限tf为有限值，即使系统不可控，状态变量不稳定，积分指标仍可为有限值，故仍旧有最优解。BeihangUniversity定理内容及说明对于以上结论，作如下几点说明：2.闭环系统是渐进稳定的，即系统矩阵的特征值均具有负实部，而不论原系统A的特征

6、值如何。证明：设李雅普诺夫函数为因K正定，故V(x)是正定的。与黎卡提代数方程比较得由于Q，R均为正定矩阵，故负定，结论得证。BeihangUniversity定理内容及说明对于以上结论，作如下几点说明：1.适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳；而在有限时间故当tf时，性能指标的最优值将趋于无穷大，即这与性能指标的最优值为有限值相矛盾，所以上述系统是渐进稳定的。闭环最优调节系统是渐进稳定的。证明：利用反证法来证明。假设系统上述不是渐进稳定的，则必具有非负实部的特征根。于是，当tf时，状态变量X(t

7、)不会趋于零，即。BeihangUniversity定理内容及说明BeihangUniversity定理内容及说明对于以上结论，作如下几点说明：3.Q为正定这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的。性能指标J取有限值，还不能保证系统稳定。例如，只要不稳定的状态变量在性能指标中不出现，那么Q为半正定时就可能出现这种情况，所以Q必须正定。Q为n×n半正定常数矩阵，且为能观测矩阵。BeihangUniversity定理内容及说明综上，状态调节器的设计步骤如下：1.根据系统要求和工程实际经验，选定加权矩阵Q和R；2.由A,

8、B,Q,R按求解黎卡提矩阵代数方程，求得矩阵K；3.由式求最优控制u(t);4.解式求相应的最优轨迹x(t);5.按式计算性能指标最优值。BeihangUniversity举例说明例1设系统的状态方程为性能指标为试确定最优控制，使J最小。设a﹣b2＞0，保证Q为正定。BeihangUniversity举例说明例1解各矩阵分别为验证系统稳定性：系统状态完全能控，且Q及R为正