2008年考研数学三真题与解析

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1、2008年考研数学（三）真题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数在区间上连续，则是函数的（）跳跃间断点.可去间断点.无穷间断点.振荡间断点.（2）曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（）曲边梯形面积.梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.（3）已知，则（A），都存在（B）不存在，存在（C）不存在，不存在（D），都不存在（4）设函数连续，若，其中为图中阴影部分，则（）（A）（B）（C）（

2、D）（5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆.（6）设则在实数域上域与合同矩阵为（）....（7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（）....（8）随机变量，且相关系数，则（）....二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数在内连续，则.（10）设，则.（11）设，则.（12）微分方程满足条件的解.（13）设3阶矩阵的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则.（14）设随机变量服从参数为1

3、的泊松分布，则.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限.(16)（本题满分10分）设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时.（1）求（2）记，求.(17)（本题满分11分）计算其中.(18)（本题满分10分）设是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数，有；（2）证明是周期为2的周期函数．(19)（本题满分10分）设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万

4、元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？(20)（本题满分12分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，（1）求证;（2）为何值，方程组有唯一解;（3）为何值，方程组有无穷多解.（21）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，证明（1）线性无关；（2）令，求.（22）（本题满分11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记（1）求；（2）求的概率密度．（23）（本题满分11分）是总体为的简单随机样本.记

5、，，.（1）证是的无偏估计量.（2）当时，求.2008年考研数学（三）真题解析一、选择题(1)【答案】【详解】，所以是函数的可去间断点．(2)【答案】【详解】其中是矩形ABOC面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形的面积．(3)【答案】【详解】，故不存在．所以存在．故选.(4)【答案】【详解】用极坐标得所以.(5)【答案】【详解】，.故均可逆．(6)【答案】【详解】记，则，又，所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值.又和为同阶实对称矩阵，所以和相似．由于实对称矩阵相似必合同，故正确.(7

6、)【答案】【详解】.(8)【答案】【详解】用排除法.设，由，知道正相关，得，排除、由，得所以所以.排除.故选择.二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知，所以因为，又因为在内连续，必在处连续所以，即.(10)【答案】【详解】，令，得所以.(11)【答案】【详解】.(12)【答案】【详解】由，两端积分得，所以，又，所以.(13)【答案】3【详解】的特征值为，所以的特征值为，所以的特征值为，，所以.(14)【答案】【详解】由，得，又因为服从参数为1的泊松分布，所以，所以，所以.三、解答题(15)【详解】方法

7、一：方法二：(16)【详解】(I)(II)由上一问可知，所以所以.O0.52xD1D3D2(17)【详解】曲线将区域分成两个区域和，为了便于计算继续对区域分割，最后为(18)【详解】方法一：(I)由积分的性质知对任意的实数，令，则所以(II)由(1)知，对任意的有，记，则.所以，对任意的，所以是周期为2的周期函数.方法二：(I)设，由于，所以为常数，从而有.而，所以，即.(II)由(I)知，对任意的有，记，则，由于对任意，，所以，从而是常数即有所以是周期为2的周期函数.(19)【详解】方法一：设为用于第年

8、提取万元的贴现值，则故设因为所以(万元)故(万元)，即至少应存入3980万元.方法二：设第年取款后的余款是，由题意知满足方程，即(1)(1)对应的齐次方程的通解为设(1)的通解为，代入(1)解得，所以(1)的通解为由，得故至少为3980万元．(20)【详解】(I)证法一：证法二：记，下面用数学归纳法证明．当时，，结论成立．当时，，结论成立．假设结论对小于的情况成立．将按第1行展开得故证法三：记，将其按第一列展开得，所以即(II