第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)

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1、第四章DFT与其快速算法时域方法频域周期连续信号傅里叶级数离散非周期非周期连续傅里叶变换连续非周期序列（非周期连离散）傅里叶变换连续周期一个域的离散化对应另一个域的周期性化从上可以看到序列对应的频域是连续，计算机适用性有问题？时域、频域均离散，DFT（离散傅里叶变换）4.1周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换4.1.1周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数(4.1.1)式中ak是傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和因此上式中，k和n均取整数，是周期为N的周期函数，可表示成(4.1.2)-∞

2、∞(4.1.3)是一个以N为周期的周期序列，称为的离散傅里叶级数，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。(4.1.6)式和(4.1.7)式称为一对DFS。周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为ωk=(2π/N)k,k=0,1,2…N-1，幅度为。其波分量的频率是2π/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。(4.1.6)(4.1.7)例4.1.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到如图4.1.1(a)所示的周期序列，周期为8，求的DFS。解：按照(4.1.4)式其幅度特性如图4.1.1(b)所示。图4.1.1例

3、4.1.1图4.1.2周期序列的傅里叶变换在模拟系统中，，其傅里叶变换是在Ω=Ωo处的单位冲激函数，强度是2π，即(4.1.8)对于时域离散系统中，x(n)=ejωon，2π/ωo为有理数，也是在ω=ω0处的单位冲激函数，强度为2π，但由于n取整数，下式成立取整数上式表示复指数序列的FT是在ω0±2πr处的单位冲激函数，强度为2π因此ejω0n的FT为(4.1.9)图4.1.2的FT对于一般周期序列，按(4.1.4)式展开DFS，第k次谐波为，类似于复指数序列的FT，其FT为，因此的FT如下式式中k=0,1,2…N-1,如果让k在±∞之间变化，上式可简化成(4.1.10)表4.1.2基

4、本序列的傅里叶变换4.2时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系我们知道模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述(4.2.1)(4.2.2)这里t与Ω的域均在±∞之间。从模拟信号幅度取值考虑，在第一章中遇到两种信号，即连续信号和采样信号，它们之间的关系用(1.5.2)式描述，重写如下：采样信号和连续信号xa(t)，它们的傅里叶变换之间的关系，由采样定理，重写如下：下面我们研究如果时域离散信号x(n)，或称序列x(n)，是由对模拟信号xa(t)采样产生的，即在数值上有下面关系式成立：x(n)=xa(nT)(4.2.3)注意上面式中n取整数，否则无定义。x(n)的

5、一对傅里叶变换用(4.2.1)式和(4.2.4)式表示，重写如下：X(ejω)与Xa(jΩ)之间有什么关系，数字频率ω与模拟频率Ω(f)之间有什么关系，这在模拟信号数字处理中，是很重要的问题。为分析上面提出的问题，我们从(4.2.3)式开始研究。将t=nT代入(4.2.2)式中，得到(4.2.4)令，代入上式后，再将Ω′用Ω代替，得到式中，因为r和n均取整数，e-j2πrn=1，交换求和号和积分号得到(4.2.5)如果序列是由一模拟信号取样产生，则序列的数字频率ω与模拟信号的频率Ω(f)成线性性关系，如(1.2.10)式所示，重写如下：ω=ΩT式中T是采样周期T=1/fs，现在对比(4

6、.2.1)式和(4.2.6)式，得到(4.2.6)(4.2.7)序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T进行周期延拓图4.2.1模拟频率与数字频率之间的定标关系例4.2.1设xa(t)=cos(2πf0t)，f0=50Hz以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采相信号和时域离散信号x(n)，求xa(t)和的傅里叶变换以及x(n)的FT。解：Xa(jΩ)是Ω=±2πf0处的单位冲激函数，强度为π，如图4.2.2(a)所示。以fs=200Hz对xa(t)进行采样得到采样信号，按照(1.5.2)式，与xa(t)的关系式为的傅里叶变换

7、用(1.5.5)式确定，即以Ωs=2πfs为周期，将Xa(jΩ)周期延拓形成，得到：图4.2.2例4.2.1图(4.2.9)如图4.2.2(b)所示。将采样信号转换成序列x(n)，用下式表示：x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)按照(4.2.7)式，得到x(n)的FT，实际上只要将Ω=ω/T=ωfs代入中即可。将fs=200Hz，f0=50Hz，代入上式，求括弧中公式为零时的ω值，ω=2πk±π/2，因此X(ejω)用下式表示：(4.