4.2刚体之细棒和球壳的转动惯量

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1、{范例4.2}细棒和球壳的转动惯量(1)一匀质细棒的质量为M，长为L，求以下三种情况下细棒对给定转轴的转动惯量。(a)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(b)转轴通过棒的一端并与棒垂直；(c)转轴通过棒上离中心为D的一点并与棒垂直。转动惯量与距离D的关系是什么？(2)一匀质球壳的质量为M，内半径为R0，外半径为R，求球壳对通过球心的转轴的转动惯量。转动惯量与半径比R0/R的关系是什么？L[解析](1)棒的质量线密度为λ=M/L，-L/2ML/2x如图所示，转动轴O通过棒的中心。OO'xdx在棒上离轴x处取一线元dx，其质量为dm=λdx，转动惯量为dJC=x2dm=λx2dx。L/2

2、L/21整个棒绕轴的23113=ML2.J=λλxxd=x=λL转动惯量为C∫12312−L/2−L/2{范例4.2}细棒和球壳的转动惯量(1)一匀质细棒的质量为M，长为L，求以下三种情况下细棒对给定转轴的转动惯量。(a)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(b)转轴通过棒的一端并与棒垂直；(c)转轴通过棒上离中心为D的一点并与棒垂直。转动惯量与距离D的关系是什么？L当转动轴移到棒的左端时，只是221J=λxxd=MLL∫积分范围发生改变，转动惯量为30绕中心轴和绕端点轴的转动惯量都有ML2，只是系数有所不同。DL-L/2L/2当转动轴距离中心的转轴为D时，M积分下限是-(L/2-D)

3、，积分下限是Ox(L/2+D)，也可求出转动惯量。O'xdx不过利用平行轴定理立即可得当D=0时，J就是绕中心轴2122的转动惯量；当D=L/2时，JJ=+=+JMDMLMDC就是绕端点轴的转动惯量。12细棒的转动惯量随中心转轴的距离增加而增加。细棒绕中心轴的转动惯量系数为1/12，绕端点轴的转动惯量系数为1/3。{范例4.2}细棒和球壳的转动惯量(2)一匀质球壳的质量为M，内半径为R0，外半径为R，求球壳对通过球心的转轴的转动惯量。转动惯量与半径比R0/R的关系是什么？z4π33[解析](2)球壳的体积为V=()RR−03MMM3RD质量体密度为ρ==33R0θdvV4π()

4、RR−0ryO如图所示，在球壳中取一体积元，φ其体积为dv=r2sinθdθdrdφ，其质量为dm=ρdv=ρr2sinθdθdrdφ，x到转动轴z的距离为D=rsinθ，转动惯量为dJ=D2dm=ρdφsin3θdθr4dr，球壳的转动惯量为2ππRπ134255J=ρϕ∫∫dsindθθ∫rrd=−−ρθθ2π(cos∫1)dcos(RR)0500R0θ=0π2RR55−11355=8πρ()RR55−=M0.=−−ρ2π(cosθθcos)(RR0)05RR33−351500{范例4.2}细棒和球壳的转动惯量552RR−球壳的转动惯量为JM=0335RR−0当R0=0时，

5、球壳变成球23J=MR体，球体的转动惯量为15当R0→R时，球壳演变成球面，将分子和分母分别展开或利用罗必塔法则，可得球面的转动惯量422−5R02J→M→=MRJ202533−R0比较同一质量和半径的球体和球面，由于球面质量的分布离轴更远，其转动惯量更大。当球壳的质量和外半径一定时，球壳的转动惯量随厚度的减小而增加。球体绕半径轴的转动惯量系数为2/5，球面绕半径轴的转动惯量系数为2/3。