数值分析卷子

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1、n^i$2010—2011学年第一学期《数值分析》课程考试试卷《A卷）答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间：120分钟题号—・二三四五六七八九总分得分3、姓名、学号必须写在指定地方阅卷人得分一、（16分）填空题阅卷人得分二、（10分）求下列超定线性方程组的最小二乘解.+2x2=1<2x{4-x2=0X}+兀2=0解：2(Xj,X2)=(Xj+2*2—1)+(2兀]+兀2—°)+(兀I+兀2—要使总残差达到最小,必有皆°墜=0=>6X(+5x2=15x}+6x2=2(8分)x]=~11T_n（10分）阅卷人得分三、（10

2、分）在区间［2,4］上利用压缩映像原理判断迭代格式耳+i=J2忑+3卫=0,1,2,…的敛散性.解：由母+严J2竝+3*=0,1,2,…知迭代函数0（x）=如+31.设兀=（2,-4,3）7',则

3、卜L二他（1分），ML=4（1分）4一3、2.已知,；,则hH.=9（1分）,

4、

5、<=7（1分）6丿“3.设/（x）可微,求方程/（x）=x根的牛顿迭代格式是x如=忑_/（「）_忑卫=0丄2….（2分）2J2010+J2008/(X)=.>0当XG[2,4],0(劝单调上升.V2x+3M610(2),0(4)]=[V7,Vn]c[2,4]

6、当XG[2,4],03二/1力⑴是单调下降的V2x+34.用二分法求方程/（x）=2?-5x-l=0在区间［1,3］内的根，迭代进行二步后根所在区间为［1.5,2］（2分）5.设f(x)=3x2+59xk，伙=0,1,2,…),则差商f[xn,xn+[yxn+2]=3(2分)6.为尽量避免有效数字的严重损失，应将表达式J而-J硕改写为以保证计算结果比较精确.（2分）(37•将A=I6&作圖g分解（即3分解）,则“<2(2分)；U=P2(2分)由压缩映像原理可以知道，当x0e［2,4］时，迭代格式收敛.（10分）n^i$阅卷人得分四、

7、（14分）设4=（勺疋尺呦对称，顺序主子式Af^0（/=1,2,••.,/?）则A=厶》厂分解存在,其中厶为单位下三角形矩阵为对角阵,试写出求方程组Ax=b解的计算步骤（用矩阵表示），此法称为改进平方根法.试用它求解方程组:J5x（+7兀2=12[7x,+10x2=17解：由4=LDLr可得Ax=b的方程为LDlJx=b,令D1Jx=y，则Ly=h.计算步骤（1）将4直接分解A=LDIJ,求出L,D（2）求解方程Ly=b（5分）阅卷人得分五、（10分）已知y=f（x）的函数值如下表:x02468101214161820/(%)01.

8、25.47.888.77.97.45.44.82利用所有数据，用复合辛普森（Simpson）公式计算积分[f（x）dx的近似值.解:^f(x)dx^S520-05』[/(0)+4(/(2+/(6)+/(10)+/(14)+/(18))+2(/(4)+/(8)+/(⑵+/(16))+/(20)]6现有「57_0__710丿211」〔0d.■一7，21=—5’⑶求解方程L,x=D~iy由Ly-b可得i]lJx=D-}y得J*比较矩阵两边的元素，可得:阅卷人得分Vi1217.Vi丿2._12_=5x21251（14分）4=-[0+4(1.

9、2+7.8+&7+7A+4.8)+2(5.4+8+7.9+5.4)+2]6=

10、(2+119.6+53.4)=116.6.六、（10分）取节点x0=O,x,=1,写出y（x）=的一次插值多项式厶（力，并估计插值误差.解建立Lagrange公式为厶（兀）===1-x+e~lx（8分）

11、尽何=卜（兀）-厶⑴

12、=呼（X-0）（兀-1）（0<^<1）1—max2O"S1(x-o)(x-q<

13、（10分）阅卷人得分七、（10分）分别写出解线性方程组阅卷人得分八、“io分）设初值冋题：l（0）=iXi-5x2十X3=16x,+x2—4兀3=7一8兀

14、］+兀2+・工3=1收敛的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式，并说明其收敛的理由.解:将原方程组调整次序如下：(0

15、+兀2+兀3=1兀］一5兀2+兀3=16+x2一4*3=7儿+i=儿+hfg，儿)=儿+0.1x(xn+儿),n=0,1,2,…9.y0二y（o）二

16、1(5分)调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组，故可保证建立的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式一定收敛.收敛的Jacobi迭代格式为：（2）取步长/2=0.1解上述初值问题数值解的改进Euler公式为：戈+