§2.3 函数的单调性与最值

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1、步步高大一轮复习讲义函数的单调性与最值忆一忆知识要点1．函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2当x1f(x2)上升的下降的(1)单调函数的定义忆一忆知识要点2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存

2、在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有_________；(2)存在x0∈I,使得_________.(3)对于任意x∈I,都有__________；(4)存在x0∈I,使得__________.结论M为最大值M为最小值(2)单调应用的定义若函数f(x)在区间D上是_______或________,则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间Df(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M求函数的单调区间求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数

3、的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法:先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(5)本题的易错点是忽视函数的定义域．抽象函数的单调性及最值又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)

4、－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”,是本小题的切入点.要构造出f(M)

5、区间上的任意两个值，且x1＜x2(或x1>x2)；(2)作差f(x1)－f(x2)，然后变形；(3)判定f(x1)－f(x2)的符号；(4)根据定义得出结论．2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质．3.复合函数的单调性对于复合函数y＝f(g(x))，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝

6、g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f(g(x))为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f(g(x))为减函数．简称为：同增异减．1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．2．两函数f(x),g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数,但f(x)·g(x),等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．设函数y＝f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意

7、两个自变量x1、x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.忆一忆知识要点①任取x1,x2∈D,且x1

8、断定义域）D上的单调性的一般步骤)2.函数的单调性的判定方法：忆一忆知识要点①k＞0时,函数y=f(x)与y=kf(x)+b具有相同的单调性；若函数f(x),g(x)在给定的区间D上具有单调性,②若f(x)恒为正或恒为负