2020版高考数学第三章导数及其应用1第1讲导数的概念及运算新题培优练文（含解析）新人教A版

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1、第1讲导数的概念及运算[基础题组练]1．已知函数f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)A．－1　　　　　　　　B．－2C．2D．0解析：选B.f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b，f′(x)＝4ax3＋2(2a＋b)x为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.2．曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为(　　)A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－y－1＝0C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0解析：选C.由于

2、y′＝e－，所以y′

3、x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.3．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2.若f′(2018)＝6，则f′(－2018)＝(　　)A．－6B．－8C．6D．8解析：选D.因为f′(x)＝4ax3－bsinx＋7.所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7＝－4ax3＋bsinx＋7.所以f′(x)＋f′(－x)＝14.又f′(2018)＝6，所以f′(－2018)＝14－6＝8，故选D.4．(2

4、019·陕西西安名校联考)若点P是曲线y＝x2－2lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－的距离的最小值为(　　)A.B.C.D.解析：选C.点P是曲线y＝x2－2lnx上任意一点，所以当曲线在点P处的切线与直线y＝x－平行时，点P到直线y＝x－的距离最小，又直线y＝x－的斜率为1，所以y′＝3x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，所以曲线与切线的切点为P，所以点P到直线y＝x－的距离的最小值是＝，故选C.5．(2019·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，则f

5、′(1)＝________．解析：因为f(lnx)＝x＋lnx，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.答案：1＋e6．若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝____________．解析：令f(x)＝y＝ax2－lnx，则f′(x)＝2ax－，所以f′(1)＝2a－1＝0，得a＝.答案：7．求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝sin(1－2cos2)；(3)y＝.解：(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3

6、x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)因为y＝sin(－cos)＝－sinx，所以y′＝(－sinx)′＝－(sinx)′＝－cosx.(3)y′＝＝＝.8．(2019·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.令3x2＋1＝4，解得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又点

7、P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－.因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.[综合题组练]1．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)A．－1B．0C．3D．4解析：选B.由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf

8、(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.2．(应用型)(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝lnx＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)A.B．[－，＋∞)C．(0，＋∞)D．[0，＋∞)解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)

9、．故选D.3．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．解析：因为f′(x)＝3ax2＋1，所以f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，所以切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．因为切线过点(2，7)，所以7－(a＋2)＝3a