第十四章 群、环、域王元元

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1、第十四章群、环、域1重点:群与子群、环掌握半群的概念；掌握子半群的概念；掌握独异点的概念；重点掌握群和子群的概念；掌握群的主要性质；能够证明一个给定的代数系统是否给定群的子群；掌握循环群的概念；掌握环的概念；2半群定义14-1称代数结构为半群（semigroups），如果运算满足结合律。当半群含有关于运算的幺元，则称它为独异点（monoid），或含幺半群。3例：代数系统和、和、和都是半群，和不是半群。4性质(半群及独异

2、点)定理14-1设为一半群,那么（1）的任一子代数都是半群，称为的子半群。（2）若独异点的子代数含有幺元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点。5对于半群，I+的子集都是的子半群。例对于独异点,子集I2，I3，I4，…它们均不能构成的子独异点，则，，都是的子独异点。6性质(半群及独异点)定理14-2设，是半群,h为S到S’的同态，这时称h为半群同态。对半群同态

3、有（1）同态像为一半群。（2）当为独异点时，则为一独异点。7群定义14-6称代数结构为群（groups）,如果（1）为一半群。（2）中有幺元e。（3）中每一元素都有逆元。(1)对于任意的a,b,c∈G，有a*(b*c)=(a*b)*c；(2)存在一元素e∈G，使得对于任意的a∈G，有e*a=a*e=a；(3)对任意a∈G，相应存在一元素a-1∈G，使得a-1*a=a*a-1=e8群群是每个元素都可逆的独异点。9群定义14-7设为一群。

4、(1)若运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群。阿贝尔群又称加群，常表示为。加群的幺元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元。10群定义14-7设为一群。G为有限集时，称G为有限群，此时G的元素个数也称G的阶；否则，称G为无限群。11例：14-5（1）（2）（3）12性质定理14-9设为群，那么（1）G有惟一的幺元，G的每个元素恰有一个逆元。（2）关于x的方程ax=b，xa=b都有惟一解。（3）G的所有元素都是可约的。（4）当G{e}时,G无零元。（5）幺元是

5、G的惟一的等幂元素。13定理14-9证（4）若G有零元,那么由定理13-5它没有逆元，与G为群矛盾。14性质定理14-10对群的任意元素a,b，（1）(ab)-1=b-1a-1。（2）(ar)-1=(a–1)r（记为a–r）=a-r（r为自然数）。15性质定理14-11对群的任意元素a,b，及任何整数m，n,（1）aman=am+n（2）(am)n=amn16性质定理14-12设为一群,a为G中任意元素，那么aG=G=Ga(aG={aggG}，Ga={gagG})特别地，当G为有限

6、群时，运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列。17定理14-12证aGG是显然的．设gG，那么a–1gG，从而a(a–1g)aG，即gaG．因此aGG。aG=G得证。Ga=G同理可证。18阶定义14-8设为群，aG，称a的阶(order)为n，如果an=e,且n为满足此式的最小正整数。上述n不存在时,称a有无限阶。19例14-6任何群G的幺元e的阶为1,且只有幺元e的阶为1。整数a0时,a有无限阶。20性质(阶)定理14-13有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G

7、的阶数G。21定理14-13证设a为G的任一元素,考虑e=a0,a1,a2,…,a│G│这G+1个G中元素。由于G中只有G个元素,因此，根据鸽笼原理，它们中至少有两个是同一元素,不妨设ar=as(0≤r为群,G中元素a的阶为k,那么,an=e当且仅当k整除n。性质(阶)23定理14-15设为群，a为G中任一元素，那么a与a-1具有相同的阶。性质(阶)24子群定义14-9设为群

8、。称为G的子群(subgroups)，如果为G的子代数，且为一群。25特性(子群)定理14-16设为群，那么为子群的充分必要条件是（1）G的幺元eH。（2）若a，bH，则abH。（3）若aH，