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1、第课时 使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围. 经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力. 经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识. 【重点】 了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件. 【难点】 会求二次根式中字母的取值范围. 【教师准备】 教学所需的习题资料. 【学生准备】 复习平方根和立方根的有关知识.导入一: 唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了
2、人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗? 要解决这个问题,我们得从二次根式说起. [设计意图] 将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.导入二: 1.教师出示复习题: (1)4的平方根是 ;0的平方根是 ;-16的平方根是 . (2)5的平方根是 ;5的算术平方根是 . 学生
3、口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根. (2)5的平方根是±;5的算术平方根是. 2.教师出示教材第2页“思考”题: 用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点: (1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S的正方形的边长为 . (2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130m2,则它的宽为 m. (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为 . 学生思考后回答,
4、教师补充得出答案:(1),;(2);(3) . [设计意图] 以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课. 1.二次根式的概念 思路一 [过渡语] (针对导入二)让我们一起来看下面的问题:上面得到的式子,,, 分别表示什么意义?它们有什么共同特征? 教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根. 讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗? 学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义: 一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”
5、称为二次根号. 追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”? 教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数. [设计意图] 让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解. 思路二 像,,, 这样的式子有什么共同特点呢? 学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数. 教师进
6、一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 引导学生说一说对二次根式的认识: (1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a≥0,≥0. [设计意图] 加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性. 2.例题讲解 [过渡语] 二次根式的定义怎样理解?让我们一起来学习几个例题. 下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数.,,,(x≥3),(y>-1),,, (xy>0). 引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根
7、号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义. 解:,(x≥3),, (xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,. [解题策略] ①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2. 【变式训练】 下列各式中,一定是二次根式的是 ( ) A. B. C. D.(其中a<0) 〔
8、解析〕 的被开方数-9<0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D. (教材例1)当x是怎样的实数
