[高考文科数学复习]方法36数形结合法（讲）

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1、数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论两数的值域（最值）及求变量的収值范围等.对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效.从近几年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”•预测2017年高考屮，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图彖和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法.复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形

2、间的位置关系.【数形结合思想概述】1.数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的儿何性质.2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则.在数形结合时，代数性质和儿何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出

3、现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负血效应.（2）双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽彖探求，仅对代数问题进行儿何分析容易出错.（3）简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三耍挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.3.数形结合思想在高考试题屮主要有以下

4、六个常考点（1）集合的运算及Venn图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从儿何图形入手进行求解即可；（6）刈于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用.4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习屮加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.

5、具体操作时，应注意以下儿点:(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解；(3)在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的汁算和推理论证.【数形结合思想解决的问题类型】一、构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；例1.【2016年高考北京理数】设函数f(x)=x3-

6、3x,xa①若Q=0,则/(x)的最大值为②若/(x)无最大值，则实数Q的取值范围是【解析】如图作出函数g(x)=^-3x与直线y=-2x的图象，它们的交点是隗-2人由gx)=3x1-3?知兀=1是函数炎)的极犬值点，■•②当0=0时，/(力」£一弘于°,因此/(灯的最大值是/(-1)=2,[-2x.x>0■■②由图象知当匕巴-1时〉/(x)有最犬值是/(-1)=2；只有当时，由a3-3a<—2a,因此/(x〉无最犬值…••所求。的范围是(-<»厂故填：2>(―X)厂1).例2.

7、[2015高考新课标1】设函数f(x)=ex(2x-)-ax+af其中XI,若存在唯一的整数兀°,使得/代)切，则Q的取值范围是()333333(A)[-—,1)(B),-)(C)[—,-)(D)[—,1)2e2e42e42e【答案】D【解析】设g(x)二R(2x-1),y=ax-a,由题知存在唯一的整数兀，使得或兀)在直线y=ax-a的下方•因为g'G)=gX(2x+l),所以当无<-片时，gr(x)<0?当乂>-片时，gr(x)>0,所以当x=-+时,J.[^)]M=>当x=O时，攻0)=-

8、1,g(l)=3^>0,直纟戋7=心一7恒过(1,0)斜率且0,故二、构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围;（舍去）・・・・¥5O・••爭曲0.‘答案,0b>09c<0(B)6/<0,b〉0,c>0(C)a<0,b>0，c<0c<0(0)a<0,【答案】Ca—ab,aWb、例3.对于实数$和方，定义运算“*”:我-―仏讥设=（2，-1）*（，-!）,且关于/的方程£（/）=/〃（/〃WR）恰有三个互不相等的实数根简，X2、血则XxXzXz的取值范RI是【答案】（片咅,0）2]x