2014江苏省高考数学试题解析

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2014年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S圆柱=cl,其中c是圆柱底面的周长，l为母线长.圆柱的体积公式:V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合，，则．【答案】2．已知复数(i为虚数单位)，则z的实部为．【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n的值是．【答案】54．从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【答案】5．已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是．【答案】6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm．【答案】247．在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是．【答案】411 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】9．在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为．【答案】10．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是．【答案】11．在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是．【答案】12．如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，则的值是．【答案】2213．已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是．【答案】14．若的内角满足，则的最小值是．【答案】二、解答题：本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)已知，．11 （1）求的值；（2）求的值．【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力.满分14分.（1）∵，∴；（2）∵∴．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，分别为棱的中点．已知．（1）求证：直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.（1）∵为中点∴DE∥PA∵平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF（2）∵为中点∴∵为中点∴∴∴，∴DE⊥EF∵，∴∵∴DE⊥平面ABC∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．17．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．11 （1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；（2）若，求椭圆离心率e的值．【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.（1）∵，∴∵，∴，∴∴椭圆方程为（2）设焦点∵关于x轴对称，∴∵三点共线，∴，即①∵，∴，即②①②联立方程组，解得∴∵C在椭圆上，∴，化简得，∴,故离心率为18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分.解法一：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.11 由条件知A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率kBC=－tan∠BCO=－.又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB=.设点B的坐标为(a,b)，则kBC=kAB=解得a=80，b=120.所以BC=.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm,(0≤d≤60).由条件知，直线BC的方程为，即由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以即解得故当d=10时,最大，即圆面积最大.所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图，延长OA,CB交于点F.因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.因为OA=60,OC=170，所以OF=OCtan∠FCO=.CF=,从而.因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，11 又因为AB⊥BC，所以BF=AFcos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=rm，OM=dm(0≤d≤60).因为OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，故由(1)知，sin∠CFO=所以.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以即解得故当d=10时,最大，即圆面积最大.所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.19．(本小题满分16分)已知函数其中e是自然对数的底数．（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1），，∴是上的偶函数（2）由题意，，即∵，∴，即对恒成立令，则对任意恒成立∵，当且仅当时等号成立∴（3），当时，∴在上单调增11 令，∵，∴，即在上单调减∵存在，使得，∴，即∵设，则当时，，单调增；当时，，单调减因此至多有两个零点，而∴当时，，；当时，，；当时，，．20．(本小题满分16分)设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力,满分16分.（1）当时，当时，∴时，，当时，∴是“H数列”（2）对，使，即11 取得，∵，∴，又，∴，∴（3）设的公差为d令，对，，对，则，且为等差数列的前n项和，令，则当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．的前ｎ项和，令，则∵对，是非负偶数，∴即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”因此命题得证.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上位于AB异侧的两点证明:∠OCB=∠D.本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分.证明：因为B,C是圆O上的两点，所以OB=OC.故∠OCB=∠B.又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B=∠D.11 因此∠OCB=∠D.B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵，，向量，为实数，若，求的值．【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.，，由得解得C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线交于两点，求线段AB的长．【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.直线l：代入抛物线方程并整理得∴交点，，故D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)已知x>0,y>0,证明：(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.证明：因为x>0,y>0,所以1+x+y2≥，1+x2+y≥，所以(1+x+y2)(1+x2+y)≥=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，随机变量X表示中的最大数，求X的概率分布和数学期望．22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.11 （1）一次取2个球共有种可能情况，2个球颜色相同共有种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率（2）X的所有可能取值为，则∴X的概率分布列为X234P故X的数学期望23．(本小题满分10分)已知函数，设为的导数，．（1）求的值；（2）证明：对任意的，等式成立．23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.(1)解：由已知，得于是所以故(2)证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，11 即，类似可得，，.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.(i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即.因为，所以.所以当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.令，可得().所以().11