《微积分教学资料》习题11

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1、1.求下列函数的自然定义域：(1)y=丄+ll-x2；x1/T(xhO(x^O【解】要使函数y=-+Vl-x2有定义，必须使?，亦即使彳x[}-x2>0用实数集表示，得氏[-1,02(0,1],所以，函数尸丄+/一兀2的定义域为Z)=[-l,O)u(O,l].(2)y=arcsin(无一3)【解】要使函数y=arcsin(x-3)有定义，必须使

2、x-3

3、=[2,4]-(3)y=V3-x一arctan—；x【解】要使函

4、数y=y/3-x-arctan丄有定义,x必须使3-x>0xhO亦即使x<3兀工0用实数集表示,得*(-oo,02(0,3],所以，函数y=V3-x-arctan丄的定义域为£)=(-<^,0)u(0,3].x⑷ln(3—Q⑷尸厶

5、；J卜卜1【解】要使函数歹=学7有定义,M-i3-x>0必须使

6、x

7、工1>1-1-1用实数集表示，得XG(-oo,-l)U(l,3),所以，函数『=纠3-耳的定义域为d=(-oo,-1)u(1,3)o说明：由于本题中得到的最简不等式组较为复杂，用数轴分别表达各不等式的数集后,求

8、出它们的公共部份，再加以表达，这样就比较直观而且容易合并了。丄(5)y=ex；【解】要使函数歹=刃有定义，必须使兀工0,用实数集表示，得xe(--0)u(0,+oo),所以，函数y=»的定义域为D=(-OO,0)50,+OO)。⑹y=logx_](16-/)；16-x2>0【解】要使函数y=logr_I(16-x2)有定义，必须使<兀一1>0兀一1H1f_4-44亦即《x>1；〉,"2；〉用实数集表示,得xe(1,2)0(2,4),丄所以，函数y=»的定义域为D=(l,2)u(2,4)o2.设/(x)=—20

9、求函数/(x+3)的定义域.【解】用宀替换〃:鳥表达式中叽得/(x+3)=1,_2,0<%+3<1l

10、X

11、-l)2>0,亦即恒成立x2-2

12、x

13、+1>0,对此不等式移项得x2+1>2

14、x

15、,1x对上面的不等式x2+1>2

16、x

17、两端同除以正数2(x2+1),得->-7—j-亦即

18、-^

19、<

20、,这说明函数y二士J在(-汽+

21、呵上是冇界的•Y4•证明函数y=——在(-h+oo)内是单调增加的函数.1+兀【证明】任取兀］,兀2W(-1,+°°)且令西0,1+x2>0,于是有y厂廿—=心<0,儿1+X,1+兀(1+%,)(1+%2)综上有，在区I'可(一1,+8)内，当Xj,+oo)关于原点对称，由于y(-x)=0=y(x),且y(-x)=0=-0=-y(x),这说明函数y=0既是奇函数

22、，也是偶函数。(1)y=e+£【解】函数y=eA+eA的定义域(-oo.+oo)关于原点对称,由于y(一劝ex+ex_2-这说明函数y二ex+ex""2-是偶函数.(3)y=x(x-l)(x+l)；第1章函数、极限与连续1.1函数习题解【解】函数y=%(x-l)(x+l)的定义域(-oo,+oo)关于原点对称，由于y(-x)=-x(-x一l)(-x+1)=-x(x+l)(x-1)=一y(x)丰y(x),这说明函数y=x(x-l)(x+l)是奇函数.(4)y=sinx-cosx+l・【解】函数y=sin兀一cosx+1的定义域(十,+g)关于原点对

23、称,由于歹(一兀)=sin(-x)一cos(-x)+1二一sina■—cos兀+1,可见y(-兀)工y(兀)，同时也y(-兀)工-y(兀)，这说明函数y=sinx-cos兀+1既非奇函数，亦非偶函数.6.判断函数=匕(-1<%<1)的奇偶性。"+11+X—11—X【解】函数f(x)=—ln「的定义域(-1,1)关于原点对称,ex+l1+x当兀w(—1,1)吋，*(—1,1),由于/(--)二U*戶二耳¥尸八+1-x(ex+)ex1+x斗—In=1+/1+x二/(x),而-/(制戶―片芋1"(戶尸C+11~X(€+1)01+Xl+ex(-In-

24、x1+x-x1+x=-f(x)*f(x),这说明函数/w=-^—!-ln—是偶惭数。ex+11+x7.下列各函数中哪些是周期函数？刈于