资源描述：
《高等数学实验室实验42生活中的经济问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、实验4.2日常生活中的经济问题实验目的本实验的口的是通过对日常生活屮一些经济问题的研究，分析数列的特性，了解递推关系、差分及差分方程的概念，探索一阶线性差分方程的解法。实验指导一、实际问题实际问题1银行存款与利率假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行每年会向你支付7%的利息。用鑫表示n年后你在账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：d（）,%,a2,a3,…，〜，…其中心表示你开户时的存款1000元。设r为年利率，由于°心=久+3“，所以我们得到存款问题的数学模型an^=(1+r)ann+lnn=l,2,3,…(1)a()=1000实际问题2家庭教育展金从
2、1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将來的教育费用,小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金•若银行的年利率为r,试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18随机入大学时所需的费用为30000元,按年利率10%计算，小张每年应向银行存入多少元？设n年后教冇基金总额为匕，每年向银行存入x元,依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模羽为(2)q网=(1+r)an+xCIq—X实际问题3抵押贷款《报刊文摘》1994年3月3日载：“职工购买公房，一次性付清房款的，可申请抵押贷款，贷款部分不超过房价的70%,限期25年，利率高于银
3、行存款利率。”小李夫妇要购买二居室公房一套，共10万元一次付清。他们自己可以设法筹借到4万元，另外6万元申请抵押贷款。若贷款月利率为1%,还贷期限25年，问小孕夫妇每月要还多少钱？若希望每月还的钱最少，应选择的利率人小和借期的最佳俏应是什么？设贷款额为d()，每月还贷额为X,月利率为“第n个月后的欠款额为色第一个月后还欠款：6=(1+r)a0-x第二个刀后还欠款：色=(1+r)a~兀笫n个月后还欠款：an=(1+r)an^-x所以，抵押贷款的数学模型为。“+】=(1+巧心_兀a。=60000n=0,1，2,3,…(3)实际问题4分期付款小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付
4、款销售。一台售价为8000元的电脑，可分36个刀付款，每刀付300元即可。同时他还收到了银行提供消费贷款的消息:10000元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为15%。那么，他买电脑时应该向银行贷款呢？还是直接向商店分期付款？简单分析可知，分期付款•抵押贷款模型相同.设第n个月后的欠款额为％(4)%=(1+“色-300a{)—8000二・一阶线性差分方程在上述模型屮，给出了d曲与①之间的递推关系，称递推公式。模型（1）〜（4）都可以写成统一的形式:(5)称此类递推关系为一阶线性差分方程。当b二0时称为齐次羌分方程，否则称为非齐次差分方程。1.数列与差分定义1对任意数列A二{终
5、），绚，•••，％,•••},其差分算了△定义如下:△%=a2,a2=a3-a2,…,对•任意n,有an=-an。使用差分算子，从原來的数列A可以构造新的差分数列aA,称为A的一阶差分数列。在存款问题中，模型（1）可以农示成£+】一绻n二1,2,3,…-阶旁分^an=an+l-an的实际意义表示在第n年内银行向你支付的利息，这说明在单位时间内存款额的平均增长速度与当时的存款额成止比。定义2对数列A={a。，⑷，…，色，…}，一阶差分的差分称为二阶差分，记为A2A=A(AA)o即△3”=△〜+]_△©=(a“+2-①+J-(afl+[-an)=an+2-2an+i+an一般
6、地，A/,A=A(A/,-'A)称为A的n阶差分。例1使用计算机计算存款模型(1)的各阶差分1.首先算出20年内的存款清单。r=0.07;a[0]=1000;a[n_]:=(l+r)a[n-l];moneyl=Table[{nAa[n]},{n,0,20}]表41T20年存款额表年份0123456存款额1000.001070.001144.901225.041310.801402.551500.73年份78910111213存款额1605.781718.191838.461967.752104.852252.191409.85年份14151617181920存款额2578.5
7、32759.032952.16315&823379.933616.533869.68(2)使用计算机能很容易地计算出A的各阶差分:da[n_]:=a[n+1]-a[n];严一阶差分*)d2a[n_]:=da[n+1]-da[n];严二阶差分★)d3a[n_]:=d2a[n+1]-d2a[n];严三阶差分*)Table[{nzag[n]zda[n]9d2a[n]9d3a[n]}z{n,0,5}]表41-2存款额的各阶差分n5A2«„△%”0100070.4.90.34311070.74.95.2430.3
