不等式及其应用》(命题方向把握+命题角度,含解析)

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1、必考问题10　基本不等式及其应用【真题体验】1．(2011·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．解析　设过坐标原点的一条直线方程为y＝kx，因为与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，所以k＞0，且联立解得P，Q，所以

2、PQ

3、＝＝≥4.答案　42．(2011·浙江文，16)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为________．解析　由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，故－≤x＋y≤，当x＝y＝时“＝”成立，所

4、以x＋y的最大值为.答案　3．(2011·南京模拟)若不等式4x2＋9x2≥2kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为________．解析　由4x2＋9x2≥2kxy(x＞0，y＞0)，得2k≤＋.因为＋≥2＝12，所以2k≤12，又k∈Z，所以k≤3，即kmax＝3.答案　34．(2012·泰州中学调研)已知A，B，C是平面上任意三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝＋的最小值是________．解析　y要最小，则a要最大，而a的最大值是b＋c，所以y＝＋≥＋＝＋－≥－，即最小值是－.答案　－5．(2012·扬州中学检测)已知x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1，x2＋y2

5、＋z2＝3，则xyz的最大值是________．解析　由题意可得x＋y＝1－z，x2＋y2＝3－z2≥0⇒－≤z≤，所以2xy＝(1－z)2－(3－z2)＝2z2－2z－2，由基本不等式可得2xy≤x2＋y2，即2z2－2z－2≤3－z2⇒－1≤z≤，故xyz＝(z2－z－1)z＝z3－z2－z，(z3－z2－z)′＝3z2－2z－1＝(3z＋1)(z－1)，所以z∈，导数大于等于0，原函数递增；z∈，导数小于等于0，原函数递减；z∈，导数大于等于0，原函数递增，且z＝－时，xyz的值是，z＝时，xyz的值是，故最大值是.答案　【高考定位】高考对本内容的考查主要有：基本不等式是C级要求

6、，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题．【应对策略】掌握高考对基本不等式的考查的常见题型，主要从三个方面考查：一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等；三是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式解决．掌握利用基本不等式求最值时，要满足三个条件：“一正”、“二定”、“三相等”，而且求解时要逐一检验.必备知识1．基本不等式两个正数的算术平均数不小

7、于它们的几何平均数．即若a，b＞0，则≥(当且仅当a＝b时取等号)基本变形：(1)a＋b≥2；2≥ab；(2)若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，≥2.2．基本应用(1)已知a＞0，b＞0，则当ab＝p(常数)，则a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时，a＋b取得最小值2；(2)当a＋b＝S(常数)，则ab≤，当且仅当a＝b＝时，ab取得最大值；必备方法1．利用基本不等式≥时，要注意“正、定、等”三要素，“正”，即x，y都是正数；“定”，即不等式另一边为定值；“等”，即当且仅当x＝y时取等号．2．利用基本不等式≥时，要注意“积定和最大，和定积最小”这一口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧，但应该

8、注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号成立的条件是否同时成立．命题角度一　利用基本不等式求最值[命题要点]①应用基本不等式求和的最小值或积的最大值；②构造基本不等式满足的条件求最值．【例1】►(2012·扬州中学检测)已知：x＞y＞0，且xy＝1，若x2＋y2≥a(x－y)恒成立，则实数a的取值范围是________．[审题视点]　　[听课记录][审题视点]此题为不等式恒成立问题，先根据分离参数法转化为函数的最值问题，再利用基本不等式求最值．解析　因为x＞y＞0，所以x2＋y2≥a(x－y)恒成立即为a≤min，而xy＝1，所以＝＝(x－y)＋≥2，当且仅当⇒时，min＝

9、2，故a≤2.答案　a≤2基本不等式在求函数最值时，具有重要应用，要注意构造应用基本不等式求最值的条件，同时要特别注意基本不等式应用的条件是否具备，特别是等号能否取到，而且还要在条件不满足的情况下能够求解或者转化，如等号取不到时，要借助函数图象，利用函数单调性求解最值等．【突破训练1】(2012·徐州考前信息卷)已知正数x，y满足：＋＝1，则x＋y的最小值为________．解析　根据“1”的代换，利用基本不等式求解．因为x＋y＝x＋(y＋2)