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《初高中数学连接教材§22二次函数(含谜底)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.2二次函数2.2.1二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质｛情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1）y=x2（2）（3）y=/+2x_3教师可采用计算机绘图软件辅助教学｝问题1函数尸屆与的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y=2x2,y=-xy=~2x2的图象，通过这些函'2“数图象与函数）="的图彖Z间的关系，推导出函数）=俶2与y=x2的图彖Z间所存在的关系O先画出函数y=x2,y=2x2的图象。先列表：X•••-3-2-10123•••
2、X2•••9410149•••lx•••188202818从表中不难看出，要得到2疋的值，只要把相应的X的值扩人到两倍就可以了。再描点、连线，就分别得到了函数y=2,）,=2”的图2.2・2图象（如图2—1所示），从图2—1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y=2r的图象可以由函数y=x2的图象各点的纵处标变为原來的两倍得到。同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y=-xy=~2x2的图象，并研究这两个-2函数图彖与函数的图彖Z间的关系。通过上而的研究，我们可以得到以下结论：二次函数丿
3、="2(好0)的图象可以由j=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到。在二次函数丿=/@刮)中，二次项系数。决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小。问题2函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用儿个特殊的函数图象Z间的关系來研究它们Z间的关系。同学们可以作出函数)=2(兀+1F+1与y=Zr2的图象(如图2—2所示)，从函数的图象我们不难发现，只要把函数y=2?的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+1)2+
4、1的图彖。这两个函数图彖Z间具有“形状相同，位置不同”的特点。类似地，还町以通过画函数y=—3<,y=-3(x-l)2+1的图彖，研究它们图彖Z间的相互关系。通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=a(x+府+%(狞0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且％正左移，方负右移”；R决定了二次函数图象的上下平移,而且正上移，&负下移”。由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a^0)^图彖的方法：b2??h.b由于y=ax+b兀
5、+c=ad+—x)+c=a(兀+—x+—)+c——aa4a4a/b、2b2-4ac=心+—Y+,2a4a所以，加+c(好0)的图象可以看作是将函数的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数加+c(c#0)具有下列性质：h—/异4a(1)当4>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为(一——，一——),2a对称轴为直线心-和当*毎时小随着”的增大而减卜当4舟时小随着b4cic——兀的增大而增大；当x=-—时，函数取最小值丿=2a4ah—(2)当«<0时,函数y=ctx2+bx+
6、c图象开口向下;顶点坐标为(一一,),2d4a对称轴为直线缶当时小随着”的增大而增尢当兀>壬时小随着b4cic—兀的增大而减小；当x=-—时，函数取最大值丿=——2a4a上述二次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图2.2—4直观地表示出來。因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法來解决问题。例1求二次两数y=-3?-6.x+l图象的开口方向、对称轴、顶点处标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随％的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图彖。解：*.*y
7、=—3x2-6x+1=—3（x+1）2+4,・••函数图象的开口向下；対称轴是直线x=-l；顶点坐标为（一1,4）；当x=~lit，两数y取最大值）=4；当x＜—l时，y随着x的增大而增大；当*＞一1吋，y随着x的增大而减小;釆用描点法画图，选顶点心,4））,与谕交于点B（呼,0）和C（-窖,0）,与y轴的交点为D（0,1）,过这五点画出图象（如图2—5所示）。说明：从这个例题可以看出，根据配方示得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的肓目性，使画图更简便、图彖更精确。函数y=
8、ax2+bx+c图象作图要领：①确定开口方向：由二次项系数a决定。②确定对称轴：对称轴方程为x=—2a③确定图象与x轴的交点情况，①若△＞（）则与x轴有两个交点，可由方程x2+bx+c=0求出②①若△=（）则少x轴有一个交点，可由方程x2+hx+c=0求出③①若△＜（）则与x轴有无交点。④确定图彖与y轴的交点情况，令x=0得illy=c,所以交点坐标为（0,c）⑤由以上各耍素岀草图。练习：作出以下二次函数的草图：（1）y=x2-x-6（2）），=/+2兀+1⑶y=-x2+1例2某种产品的成本是1
