幂函数、二次函数讲义

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1、幕函数与二次函数知识点提要幕函数1.幕的有关概念正整数指数幕：an=aa...a(neN)n零指数幕：67°=1(67^0)负整数指数幕：a~p=—(a^0,peN)a分数指数幕：止分数指数幕的意义是:an=>0,m,nwN,且n>1)m负分数指数幕的意义是：1(a>0,777,nwN,Un>1)2.幕函数的定义是侑理数的情况)•3.幕两数的图象•般地，函数尸屮叫做幕函数，其小X是白变最，Q是常数(我们只讨论幕函数y=xa当。由图象可知，对于幕两数而言，它们都具有下列性质：尹=*有下列性质：⑴a>0时：①

2、图象都通过点(0,0),(1,1)：②在第一象限内，函数值随X的增人而增人，即在(0,+oo)上是增函数.(2)dv0吋：①图象都通过点(1,1)；②在笫一象限内，函数值随X的增大而减小，即在(0,+oo)上是减函数；③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与X轴无限地接近.(3)任何幕函数的图彖与坐标轴至多只有一个交点；(4)任何幕函数图彖都不经过第四象限；(5)任何两个幕函数的图象敲多冇三个交点.【说明】由帚函数的概念和定义域决定了，我们研究幕函数一般只研究其在第一象限内的部分,更精确地说是研究

3、幕函数的时候只讨论xNO或者x>0的时候.4.幕函数的奇偶性函数y=xn(neK)的定义域为R,定义域关于原点对称，且“、卜x”S为奇数)卜/⑴("为奇数)'[xnS为偶数)l/(x)(刃为偶数)所以当刃为奇数时函数是奇函数,77为偶数时函数是偶函数.【说明】高中范围内一般不研究非整数指数的幕函数的奇偶性.二次函数1.二次函数：当aHO时，y=ax2+bx+c或/（x）=or?+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为肓•线％=,另外配方可得/（x）=a（x-x0）2+/（x0）,其111x0=—,下同.

4、2a2a2.二次函数的性质：当。>0吋，/（兀）的图象开口向」:，在区间（-汽切上随口变量x增大函数值减小（简称递减），在［兀o,2）上随自变聚增人函数值增人（简称递增）.当QV0时，情况札

5、反.3.当a>0H寸，方程/（x）=0即ax2+bx-i-c=0....①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0...③与函数/co的关系如下（记m1）当>0时，方程①有两个不等实根，设xltx2（xtx2}和{x

6、X］V兀

7、/（X）图象与X轴有两个不同的交点,/（X）还可写成/'（X）=a（x一X］）（x-x2）.2）当=0时，方程①有两个相等的实根x严兀2=x°=-2,不等式②和不等式③的解集分别是2a0,当兀=X。时，/（X）取最小值/（x0）=，若a<0,则当兀=%=_一4（72a4ac—b~—时，/⑴取最

8、大值/（x0）=•对于给定区间［刃上的二次断数/'（x）=ax2+bx+c（d>0）,4（7当xoe［m9n］时，/（兀）在［加,町上的最小值为f（x0）;当x0

9、题意.8822【例2】(安徽2011理)函数f(x)=ax,n^l-xy在区间(0,1)上的图像如图所示，贝0/的值可能是【解析】代入验证，当m=1,/?=2,/(X)=ax^l-x)2=n(x3-2x2+x),贝ij心咖-心+1),由/©)訥3—4卄1)=0可知,补冷,结合图像可知函数应在(0，+递增，在(+，1递减,I3丿13)/(—)=t7X—gfl——)2=—,矢W存在.故选B.JJ丿厶二、幕函数的性质与应用【例3】(上海2011文)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+oo)上单调递减的函数是

10、()A.y-%-2B.y=x~}C.y=兀，D.尹=兀亍【解析】尹二兀J歹=」都是奇函数，故B、D错谋，乂尹二扌虽为偶两数，但在上为増函数，故错课,在上为减甫数，且为偶函数，故A满足题意.【例4】己知0JV1，试比较的大小.【答案】3)">/>川)【解析】本题考查的是抵函数的单调性知识，这里三个表达式的底数和抵都分别不同，所以需要转化看待，将它们化成同类幕函数进行比较.为比较『与⑺了的人小，将它们看成指数相同的两个幕，由于幕函