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《高中全程复习方略配套课件：23函数的奇偶性与周期性北师大·数学理·陕西专用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节函数的奇偶性与周期性三年11考高考指数:★★★1.了解函数奇偶性的含义；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性；3.了解函数周期性．1.函数奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向；2.常与函数的图像、单调性、对称性、零点等综合命题;3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题.1.函数奇偶性的定义(1)图像定义：①f(x)为奇函数⇔图像关于_____对称；②f(x)为偶函数⇔图像关于____对称；(2)符号定义：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x①f(x)为偶函数⇔___________;②f(x)为奇函数⇔____________.原点
2、y轴f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)【即时应用】(1)思考：函数f(x)=x+sinx,g(x)=x·sinx各自图像有什么对称性？提示：f(x)为奇函数，所以其图像关于原点对称；g(x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称.(2)判断下列六个函数是否是奇函数.(请在括号中填“是”或“否”)①y=x2-
3、x
4、()②y=sin3x()③y=x+()④y=3x-3-x()⑤y=
5、x
6、cosx()⑥y=x2,x∈(-1,1］()【解析】由奇函数、偶函数的符号定义知，函数①,⑤为偶函数，②,③,④为奇函数,⑥是非奇非偶函数.答案：①否②是③是④是⑤否⑥
7、否(3)已知f(x)=ax2+bx是定义在［a-1,2a］上的偶函数，那么a+b的值是________.【解析】由已知得a-1=-2a,解得a=∴f(x)=+bx,又f(-x)=f(x),即又x∈［］,∴b=0,故a+b=+0=答案：(4)已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2,则f(x)=_____.【解析】由题意知f(0)=0,当x<0时，-x>0,∴f(-x)=(-x)2=x2,又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2,答案：2.周期性(1)周期函数：常数T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T≠0;②f(x+T)
8、=_____对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________，那么这个___________就称为它的最小正周期．f(x)最小的正数最小的正数【即时应用】(1)已知函数f(x),对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x),且x∈(0,2)时，f(x)=2012x2,则f(2013)=________.(2)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的最小正周期为________.【解析】(1)∵f(x+4)=f(x),∴f(x)的最小正周期为4，∴f(2013)=f
9、(503×4+1)=f(1)=2012×12=2012.(2)∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x).∴最小正周期为2.答案：(1)2012(2)2判定函数的奇偶性【方法点睛】判定函数的奇偶性的常用方法及思路(1)符号定义法：(2)图像定义法：f(x)的图象关于原点对称关于y轴对称f(x)为奇函数f(x)为偶函数(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性奇函数与奇函数奇函数与偶函数偶函数与偶函数和差奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数积商【
10、提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x3-x;(2)f(x)=(x+1)(3)【解题指南】由奇偶性的符号定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)，并判断其与f(x)的关系，从而得出函数的奇偶性.【规范解答】(1)显然函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又∵f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.(2)使f(x)=(x+1)有意义，则有≥0且1+x≠0,解得函数的定义域为(-1,1］,不关于原点对称，因此函数f(x)既不是
11、奇函数，也不是偶函数.(3)显然函数f(x)的定义域为：(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称，∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.【互动探究】若将本例(2)的函数改为其奇偶性又如何呢？【解析】易知函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴又∵f(-x)=∴函数f(x)为奇函数．【反思·感悟】利用符号定义法判断函数奇偶性时，
12、先求定义域，当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算f(-x),否则可能得到错误结论.【变式备选】判断下
