一道高考试题的新旧解法探究

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1、一道高考试题的新旧解法探究地址：海南省海口市长流中学姓名：梅德升邮编：570312E-MAIL:mdsh-1994@163.com 电话：130162905572008年高考试题海南卷（文科）20题：已知，直线：和圆：．（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；（Ⅱ）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？标准答案是：解：（Ⅰ）直线的方程可化为，直线的斜率，因为，所以，当且仅当时等号成立．所以，斜率的取值范围是．（Ⅱ）不能．由（Ⅰ）知的方程为，其中．圆的圆心为，半径．圆心到直线的距离．由，得，即．从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于．所以不能将圆分

2、割成弧长的比值为的两段弧．笔者对第一小题的解法产生了浓厚的兴趣，觉得标准答案里面给出的解法门槛过高。大部分文科生对于基本不等式的应用不会娴熟对应用自如的地步，并且能由联系到，实在勉为其难。但是仔细分析此题，很明显是一道求函数值域的传统题目，下面不妨用求值域的几种常见方法来作答，来进一步比较。一、方程的方法解可转化为（1）当时，，符合要求；（2）当时，上面关于的方程有解的条件是，即，解得或.综上所述，的取值范围为.这种求值域的方法在各种复习材料上均有出现，解法简单，但是随着新课程改革的深入，对值域的求解的弱化，这类方法早已作为繁难偏旧在学习中给淡化。二、三角换元

3、解因为，所以可令则可化为由得所以即所以的取值范围为.解答所需公式为三角函数中的万能公式在新课程教材中已经删除，尽管解答较为简洁，但是超出了课程标准要求。一、数形结合解析：可以看做是点和点连线的斜率，点的轨迹为，是开口向右的抛物线，如右图所示。抛物线上一点与连线的斜率是以两条切线为界，故求出两条切线的斜率即可。这种解法作为选择、填空题解答尚可，作为大题的解答方法不佳，不容易将说理表达清楚。二、基本不等式法解(1)、时，，（2）、时，因为，所以即（3）、时，由，得所以，所以即综上所述的取值范围为.与标准答案相比较，同为运用基本不等式，本解法通过分类讨论，将运用基本

4、不等式的门槛降低，转化为学生平时训练的类型，尽管步骤偏多，但学生较容易接受。一、函数的单调性解由得，解方程得.（1）当，解得；（2）当，解得或.当变化时，，的变化如下表所示：递减极小值递增极大值递减所以的取值范围为。显然是个错解，错在学生对函数开区间最值的求解能力不足以及工具有限。但是笔者之所以要把这个错解摆出来是因为这道题本身就有这样的诱导。新课程中运用导数工具来研究函数的单调性进而研究值域问题是屡见不鲜，学生选择这样的方法解答该题无可非议。通过以上几种解法的对比，显然可以看出一、二是传统求值域方法中最常见的求法，但由于在新课程的教学中被弱化，已经鲜有提及。

5、而高考试题的引导作用会不会使得老师和学生在高考复习中大量添入旧教材要求的知识呢？笔者不得而知。