数学建模--微分方程第一讲

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1、微分方程模型第一讲数学建模培训一、动态模型有许多实际问题包含着时间发展的过程，如投资、还贷、养老金、种群增长、疾病传播、化学反应、污染控制、空间飞行、军事战斗等等，对这些动态过程建立动态模型，能够表现这些过程的演变，并给出预测和控制的答案。动态模型1、微分方程模型2、差分方程模型3、随机过程模型4、动态规划模型（动态模型与优化模型相结合）描述对象特征随时间(空间)的演变过程分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段动态模型分类在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关

2、系式,这就是微分方程.在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人口数、生产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可操作性,差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.因此实际问题只要涉及改变，变化，增加，减少，衰变等等词语是都可用方程建立模型。1、微分方程模型描述动态过程的状态随时间连续变化，用连续函数x=x(t)表示动态过程在时刻t的状态。称为连续动态过程。涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、“运动”、“追赶”、“逃跑”等等词语的确定性连续问题。2、差分方程模型描述动态过程的状态在离散时段上的变化，用数

3、列表示动态过程在第k个时段t的状态。称为离散动态过程。3、微分模型和差分模型的解（1）解析解（精确解）——适用于线性系统和少量非线性系统（伯努利方程）（2）数值解（近似解）——对于多数的线性系统和非线性系统，但不能对系统的行为提供一个号的定性解释。（3）定性解（定性理论分析）——用定性理论和稳定性理论分析系统在局部和全局的动态行为。定性理论适用于二维、三维系统。稳定性理论适用于高维系统。4、微分模型和差分模型的建模方法1、根据规律建模——利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立模型。2、用微元法建模——利用已

4、知的定理与规律寻求微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。3、用模拟近似法建模——在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是及其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。4、微分模型的建模原理在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的规律。微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一点处的导数以

5、及它的起始点，那么就能构造这条曲线。具体步骤如下：1、转化实际问题中，有许多表示“导数”的常用词，如“速率”、”增长“（在生物学以及人口问题研究中）、”衰变“（在放射性问题中）以及”边际的“（在经济学中）等。这些词就是信号，这个时候要注意是哪些研究对象在变化，对这些规律的表示微分方程也许就能用得上。考虑：我们所研究的对象是否遵循某些原则或物理定理呢？是应该用已知的定律呢？还是必须去推导呢？大部分微分方程模型符合下面的模式：净变化率=输入率—输出率2、准确性和总体特征微分方程式一个在任何时刻都必须正确的瞬时表达式，这是问题的核心。建立微分

6、方程模型，首先要把注意力放在方程文字形式的总关系上：净变化率=输入率—输出率或者：变化率（微商）=单位增加量--单位减少量等式通常是利用已有的原则或定律。3、单位一旦确定了哪些子项应该列入微分方程中，就要确保每一项都采用同样的物理单位。这是在建立微分方程过程中容易疏忽的问题。4、约束条件约束条件是关于所研究对象在某一特定时刻的信息（比如初始时刻），它们独立于微分方程而存在。在建立微分方程模型后，利用它们来确定模型中有关的常数，这些常数包括比例系数、原微分方程的其他参数和解中的积分常数。为了完整，充分地给出问题的数学陈述，建模过程中应该将

7、这些约束条件和微分方程一起写出。5、概念框架前面阐述的都是使用微分方程建模的关键问题。当面临一个典型问题是，首先必须有一个明确的概念框架（建立其他模型也是如此），这个概念框架就是关键步骤。具体如下：（1）把用语言描述的情况转化为文字方程。（2）陈述出所涉及的原则或物理定律。（3）建立微分方程，配备方程各子项的单位。（4）给定约束条件，包括初始条件或其他条件。（5）给出微分方程的解。（6）求出微分方程的常数。（7）给出问题答案。（8）检验答案是否满足问题的要求。在建模过程中，明确了概念框架，然后就是依次完成框架中每一步所要做的事情。模型1

8、饿狼追兔问题现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到