黄金分割及其应用

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1、黄金分割及其应用作者：黄武智俞杰耀江钊凡指导老师：陈俊鑫马鸿良范世华摘要：本文用迭代法计算黄金分割数,并对黄金分割法的基本思想加以阐述,从冷压装配、股票价格变化、求最优值等方面说明黄金分割法在生活生产中的实际应用,并通过对黄金分割和斐波那契数列的分析、比较,　　引出它们的关系最后,介绍了黄金分割的三角表示及黄金图形。关键词：黄金分割；斐波那契数列；迭代把一条线段分成两段,使其中较大的一段是原线段与较小一段的比例中项,叫做把这条线段黄金分割.如图1,在线段AB上取点C,使得,则点C叫线段AB的黄金分割点.显然,从对称性上考虑,一条线段有两

2、个黄金分割点,它们关于线段的中心对称.1、黄金分割1.1黄金分割数图1如图1,设AB=,AC=,则BC=有,即解得,舍去负根,得AC=故,这就是黄金分割数,以下记为,是一个无理数.因为任何的无理数都可以用有理数逼近．现在我们试图找出一串分数，使得，而且是所有分母小于或等于的分数中最接近的.我们用一种近似方法——迭代法来确定求解黄金分割数的二次方程式.将改写成迭代方程,易知.迭代函数，在区间上恒有.因此,迭代公式对任意初始值均收敛于方程的根.取初始值,可得的一系列近似值(见表1)表1方程的根的近似值1234567891011从表1可以看出

3、：（1）当迭代次数越大时，越接近于0.618，即,这就是黄金分割数.(2)是的一个渐进分数列,且具有以下规律：设,即1.2黄金分割法的基本思想黄金分割法,也叫0.618法,是黄金分割在优选法上应用的一种方法,是优化计算中的经典算法,以算法简单、效果显著而著称,是许多优化算法的基础．它适用于一维区间的单峰函数．其基本思想是：依照“去坏留好”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围.具体地说：设ｆ是定义在区间的下单峰函数,有唯一的极小点（即最优点）．在区间中取点如果，则令如果则令．这样,通过比较的大小,就可以将区间缩短为区间或．因

4、为新的区间内包含了一个已经计算过函数值的点,所以再从其中找出一个试点,又可将这个新的区间再缩短一次．不断地重复这个过程,直至最终的区间长度缩短到满足预先给定的精度为止．目前,由于史文谱、刘迎曦等人的努力,用推广的黄金分割法已经能够求解部分多维区域上的函数的最优解了,可参考文献［1］．1.3黄金分割法的应用1953年,美国的弗基提出0.618法获得大量应用,特别是工程设计方面.20世纪70年代初，我国著名数学家华罗庚在应用优选法方面做出了杰出贡献，使得黄金分割法在我国得以推广,并取得了很大的成.以下给出黄金分割法在生产生活及计算数学中的应

5、用实例．1.3.1黄金分割法在冷压装配中的应用自行车链轮（一种板料冲压）与右轴柄（一种切削件）要装配成一个组合件，通过链轮内孔与曲柄小台阶外径处的冷压铆合来达到抗扭强度要求：经过2000KN扭力,在1min后,两者的铆合处不得发生转动.冷压铆合前,于链轮的内孔上须冲压出一定数量的不冲通内齿形.内齿数太多,冷压装配时曲柄小台阶外径处的材料挤压入其间因量少而铆合不牢;内齿数太少,材料又难以压入填满其间而铆合不牢.故内齿数目有一个最佳值的问题.(1)确定初始点及可行区间原有一模具(冲头),冲出链轮内齿40牙/周,所有组合件均发生转动,转动率1

6、00%;后来加工了一个10牙/周的冲头,结果转动率仍为60%之多.经分析,小于10牙/周的冲头也不行.故其实验的区间为[10,40];精度要求为转动率为0.(2)0.618法优选齿数①新加工模具(齿数)实验结果:转动率为10%.②重新加工模具(齿数)实取20牙/周（为使模具更易加工,齿数要偶数）,实验结果：转动率为0.③按0.618法迭代步骤,当出现

7、b-a

8、时，应取为最佳点.此时应取.但工程实际问题不完全是一个纯数学问题.在这里,还必须考虑模加工所用的成本,以及在实验中还有可能产生其它问题等.故用20牙/周的模具就完全达到了质量要求,

9、就不再继续迭代了.1.3.2黄金分割在股票价格变化中的应用通常,黄金分割法中的黄金点为0.618和0.382.但在股票价格涨幅与跌幅的测量中,用黄金分割法时除了用0.618和0.382作为反压点外,其间还会用到0.382的一半这个点作为反压点,即0.191这一点.这是股市中的实际,也可能是其特点.因此,当预测股价上升能力与可能反转之价位时,可用前段下跌行情之最低点值乘以0.191,0.382,0.618,0.809,1.当超过一倍的涨幅时，其反压点为1.191，1.382，1.618，1.809，2，相仿当预测下跌反压点时可乘以0.80

10、9，0.618,0.382,0.191.例如,当下跌行情结束前,某股的最低价为10元,那么,股价反转上升时,可预先计算出不同反弹价位：10*(1+0.191)=11.9元10*(1+0.382)=13.8元