[工学]信号与系统复习第6章

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1、第六章Z变换与离散系统的频域分析6.1Z变换的定义6.2Z变换收敛区及典型序列Z变换6.3Z变换的性质定理6.1Z变换的定义Z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。连续信号的理想抽样信号为T为抽样间隔。对上式取双边拉氏变换，得到令z=esT或，引入新的复变量双边Z变换的定义如果x(n)是因果序列，则一．收敛域的定义收敛的所有z值之集合为收敛域。对于任意给定的序列x(n)，能使不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。6.2Z变换收敛区(ROC:Regionofconvergence)及典型序列Z变换例6

2、.2-1已知序列分别求它们的Z变换及收敛区。解X1(z)与X2(z)相同，但X1(z)的收敛区是以

3、a

4、为半径的圆外，而X2(z)的收敛区是以

5、a

6、为半径的圆内。不同序列的表示式有可能相同，但各自的收敛区一定不同。双边Z变换除了要给出X(z)的表示式外，还必须标明X(z)的收敛区。任意序列Z变换存在的充分条件是级数满足绝对可和，即1.有限长序列Z变换为如果n1≥0，X(z)只有z的负幂项，收敛区为0<

7、z

8、≤∞；若n2≤0，X(z)只有z的正幂项，收敛区为0≤

9、z

10、<∞特别的，x(n)=δ(n)X(z)=1，0≤

11、z

12、≤∞，收敛区为全z平面。例6.2-2已知

13、序列x(n)=RN(n)，求X(z)。解收敛域为0<

14、z

15、≤∞2.右边序列n2→∞，右边序列的Z变换为当n1<0时，将右边序列的X(z)分为两部分①②①有限长序列的收敛域0≤

16、z

17、<∞②只有z的负幂项例6.2-3已知序列求X(z)。解3.左边序列(n1→-∞)当n2>0时，将左边序列的X(z)分为两部分①②左边序列的Z变换为①项只有z的正幂项②项是有限长序列例6.2-4已知序列x(n)=-bnu(-n-1)，求X(z)。解4.双边序列(n1→-∞，n2→∞)其Z变换为将双边序列的X(z)分为两部分①②例6.2-5已知双边序列x(n)=c

18、n

19、，c∈R，求X(

20、z)。解X(z)的ROC是X1(z)和X2(z)的ROC的交集

21、c

22、≥1时X(z)的双边Z变换不存在。6.2.2典型序列的Z变换在离散系统分析中除了因果序列，非因果序列也有一定的应用，所以典型序列中除了单边序列外，还有双边序列。1.单位样值序列δ(n)2.单位阶跃序列u(n)3.斜变序列nu(n)

23、z-1

24、<1可利用u(n)的Z变换，等式两边分别对z-1求导，得两边各乘以z-14.指数序列5.单边正、余弦序列由指数序列的可推得将正、余弦序列分解为两个指数序列

25、z

26、>1同理

27、z

28、>16.双边指数序列6.3Z变换的性质定理1.线性若则ax(n)+by(n)aX(

29、z)+bY(z)R-<

30、z

31、0）若序列x(n)的双边Z变换为3.单边Z变换的位移性(1)若序列x(n)的单边Z变换为则序列左移后单边Z变换为(3)若x(n)为因果序列，,则4.指数序列加权5.x(n)线性加权或z域微分性6.初值定理对因果序列x(n)，有7.终值定理若x(n)是因果序列,除单位圆上可有一个z=1的一阶极点外，其余极点均在单位圆内,则8.时域卷积定理若w(n)=x(n)*y(n)，则式中9.复频域卷积定理若w(n)=x(n)y(n)，则R-<

32、v

33、<

34、R+式中,v平面的收敛区为max［RX-,

35、z

36、/RY+］<

37、v

38、

39、z

40、/RY-］。c是X(v)与公共收敛区内一条逆时针封闭曲线。表6-1Z变换性质与定理