矩阵在有限元中的应用

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1、矩阵在有限元中的应用有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。有限元法可以称为有限单元法或有限元素法，基本思想是将物体（即连续求解域）

2、离散成有限个且按一定方式相互连接在一起的单元组合，来模拟和逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的数值分析法。将有限元分析法应用到工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具，将它应用到科学研究中，可成为探究物质客观规律的重要手段。严格来说，有限元分析必须包含三个方面：（1）有限元方法的基本数学力学原理；（2）基于原理形成的实用软件；（3）使用时的计算机硬件。有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克

3、拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=RayleighRitz法+分片函数”，即有限元法是RayleighRitz法的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的RayleighRitz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。基于功能完善的有限元分析软件和高性能的计算机软件对设计的结构进行详细的力学分析，以获得尽可能真实的结构受力信息，在设计阶段对可能

4、出现的各种问题进行安全评判和设计参数修改是有限元分析的主要作用。有限元分析首先要针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息（位移、应变、应力）。有限元分析的主要功能是在准确进行力学分析的基础上，设计者可以对设计对象进行刚度、强度等方面的评判，然后对不合理的设计参数进行修改，以得到较为优化的设计方案；然后再次对修改过的方案进行有限元分析，以进行最后的力学评判和校核，以确定最后的设计方案。有限元分析的主要过程一般有六步：第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求

5、解域的物理性质和几何区域。　　第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网格越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。　　第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。　　第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合

6、理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵。为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。　第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。　　第六步：联立方程组求解和结果解释：有

7、限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分;后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。有限元分析的最大特点就是标准化和规范化，这种特点使得大规模分析和计算成为可能，当采用了现代化的计算机以及所编制的软件作为实现平台时，则复杂工程问题的大规模分析就变为现实。实现有限元

8、分析的载体是单元，这就需要我们构建各种各样的具有代表性的单元，有了这些单元就可以按照设计的要求构建出各种各样的发杂结构。因此，有限元分析就是对这些单元的分析，即首先给出单元的节点位置和节点力，然后基于单元节点位移与节点力的相互关系，可以直接获得相应的刚度系数，进而得到单元的刚