《多面体与欧拉公式》PPT课件

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1、多面體與歐拉公式導師：文耀光博士問題：以下哪些是多面體？哪些是正多面體呢？多面體與正多面體的定義多面體：由若干個多邊形圍成的封閉立體圖形。正多面體：每個面都有相同邊數的正多邊形，而每個頂點都有相同棱數的凸多面體。究竟有多少個正多面體呢？歐拉公式對簡單多面體而言，其頂點數(V)、面數(F)及棱數(E)滿足以下公式：V+F–E=2例子：若一凸三十二面體的頂點數是60，求它的棱數。解：V=60,F=32代入V+F-E=2，得：E=V+F-2=60+32-2=90該多面體的棱數是90。例子：若一凸多面體的面

2、全是三角形，證明F=2V-4。解：由於每塊面有3條邊，而每條邊是兩塊相鄰面所共有，所以：E=3F/2………….(*)引用歐拉公式V+F-E=2，得：2V+2F-2E=4把(*)代入，得：2V+2F–3F=42V-F=4F=2V–4。m的意義m代表一個正多面體每塊面上的邊數正六面體m=4正四面體m=3n的意義n代表一個正多面體每個頂點上的邊數正六面體n=3正八面體n=4想想看：mF=?m代表一個正多面體每塊面上的邊數正六面體m=4正八面體m=3F=6F=8mF=24=2EE=12E=12mF=24=2

3、E想想看：nV=?n代表一個正多面體每個頂點上的邊數正六面體n=3正八面體n=4V=8V=6nV=24=2EE=12E=12nV=24=2E一般而言，對任意正多面體，有以下結果：mF=2E及nV=2E一個幾何定理定理：正多面體只有五種證明：正多面體只有五種假設m代表一正多面體每塊面上的邊數n代表它的每個頂點上的邊數考慮以下公式：(1)(2)將(1)、(2)式代入歐拉公式，得：(3)m-2n-21112132131mn3334353345把不同的m,n值代回(1)、(2)、(3)，得：mnEF多面體名稱

4、3364正四面體34128正八面體353020正二十面體43126正六面體533012正十二面體結論正多面體只有以下五種：