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1、《计算机图形学》习题课王汝传、肖甫、蒋凌云南京邮电大学ᅘ计算机学院xiaof@njupt.edu.cn第四章二维图形生成和变换技术4.1基本绘图元素4.2直线段的生成4.3曲线的生成4.4区域填充4.5二维图形变换4.6二维图形剪裁第四章二维图形生成和变换技术三维图形最终还是用二维图形，即图片、屏幕、纸张等的形式来表示。无论什么复杂图形，它们无非是由直线段和曲线段组成（三维图形经投影后最终变成了二维图形），图形设备显示曲线段时，最终还是将曲线段转化成一系列直线段逼近表示因此，所有图形我们都可以看成是由直线段组成。 对二维图形的处理是计算机图形学
2、的基础 对直线的处理则是处理二维图形的基础直线段的生成①逐点比较法思想：在绘图过程中绘图笔每走一步就与规定的图形进行比较，然后决定下一步走向，用步步逼近的方法画出规定的图形。Eg.作业P1633.用逐点比较法画圆弧②数值微分法（DDA法）思想：一种基于直线的微分方程来生成直线的方法。可通过计算由x方向上的增量Δx引起y的改变来生成直线，由yi＋1=yi＋Δy(yi为直线上某步的初值)③Bresenham法（不要求）DDA算法P163第2题已知两端点，求直线段要求：基本思想算法流程注意：要选择增量大者作为步进方向(why?)程序设计说明：浮点型取
3、整的问题详见课本三次样条曲线生成算法原理1)三次多项式函数表示①设平面上有N个型值点，表示为Vi（xi,yi）,（i=l,2,…,n－1,n）,且xl＜x2＜……＜xn②设Si（x）表示第i段的三次多项式函数且Si（xi）=yi，Si（xi＋1）=yi＋1，可将Si（x）写成：(1)i=l,2,…,n－1x∈[xi,xi+1]其中ai，mi，ci和di为待定系数。因为n个离散点只有n－1段要求出三次多项式，关键是求待定系数②对Si（X）求导令hi＝xi+1-xi若令③由④解联立方程：先将y’i，y’i＋1看成已知量，解方程组得：由于y’i、y’
4、i＋1是未知的，故直接用mi、mi＋1来表示,即mi=y’i,mi＋1=y’i+1,ci和di又可写成：⑤求mi（i=1,2,…)显然，若求出了mi、mi＋1，则ai、ci和di就全部求出了，这时，Si(x)也就确定。为了求出mi，(i=1,2,……，n－1),我们考虑Si”(Xi)，对（4）式求导得：将Ci-1，Ci，di-1分别用mi-1，mi，mi＋1来表示,代入(9)式，经整理得：以上是m1,m2……mn-1,mn为未知量的方程组，称为“三转角”方程(力学上)或m连续性方程，由于有n个未知量，n－2个方程，要使其有唯一解，应再增加两个方
5、程。这时，我们通过增加边界条件来得到两个新的方程。边界条件的方法很多，一般都是根据具体问题的需要加以确定，这里我们给出几种常用的边界条件。(1)夹持端：限定两端切线方向，假设已知ml＝k1，mn＝k2，k1和k2是已知常数，这实际上增加了两个方程。(2)抛物端：认为曲线在第1段和第n－1段（末端）为抛物线，即此二段曲线的二阶导数为常数。因此可得：(3)自由端：端点处二阶导数为0，即y1”＝0，yn”＝0，由此而得:对于以上三种边界条件，我们可以用统一两个方程来表示，即写成：式中各种条件下的系数值见下表：所以，将这两个统一的方程和前面n-2个方程
6、组合得：边界条件μ1，λnR1,Rn夹持端μ1=0，λn=0R1=2k1,Rn=2k2自由端μ1=1，λn=1R1=Rn=抛物端μ1=2，λn=2R1=Rn=它们是n个未知量和n个方程组成的方程组，用矩阵形式表示为：=显然，在上述三对角系数矩阵中。由于
7、λi
8、＋
9、μi
10、=1(i=2,3…n－1),0<=μi,λn<=1，主对角线上的元素为2，对角严格占优势，故方程组的系数矩阵奇异，从而方程组有唯一解。用“追赶法”很容易解这个方程组，并可节省大量的计算时间和存储空间。当求出了所有的mi后，那么，所有的ai,ci和di也就确定，从而所有的Si(x)
11、也确定了。这时，每给定一个x值，如x=x*，先判断好x*所在的区间，若xi<=x*<=xi＋1，则利用Si(x)可计算出S(x*)的函数值，即y*=S(x*)。为了画出三次样条曲线，可将x从x1到xn取一系列的值，计算出相应的S(x)，然后用直线段一一连接相邻的S(x)点。3)三次样条函数曲线解题步骤①根据实际情况决定边界条件（三个条件，夹持端，抛物线端，自由端）②根据已知几个型值点坐标建立方程组③用追赶法或其它方法解方程组，先求出m1,m2,……mn④求出mi后然后用mi再求aicidi，从而可确定各线段Si(x)⑤由Si(x)计算各段内若干
12、插值点并依次用直线相连，画出三次样条曲线对于挠度大的情况下，三次样条函数并不太适合，而可采用三次参数多项式。6.已知4个型值点（1.0，2.0），（2
