回归分析的基本思想

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1、回归分析的基本思想及其初步应用3.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）高二数学选修2-37/17/2021郑平正制作两个变量的关系不相关相关关系函数关系线性相关非线性相关现实生活中两个变量间的关系:相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系函数关系是一种理想的关系模型相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况表示有一组具体的数据估计得到的截距和斜率;a,b,y表示真实值;表示由真实值a,b所确定

2、的值.表示由估计值所确定的值.这种方法称为回归分析.两个具有线性相关关系的变量的统计分析：（1）画散点图；（2）求回归直线方程(最小二乘法)：（3）利用回归直线方程进行预报；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.为样本点的中心样本点：2008年5月，中共中央国务院关于加强青少年体育、增强青少年体质的意见指出城市超重和肥胖青少年的比例明显增加.“身高标准体重”该指标对于学生形成正确的身体形态观具有非常直观的教育作用.“身高标准体重”从何而来？我们怎样去研究?创设情境：某大学中随机选取8名女

3、大学生，其身高和体重数据如下表所示.编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.解：取身高为解释变量x，体重为预报变量y，作散点图：样本点呈条状分布，身高和体重有较好的线性相关关系，因此可以用回归方程来近似的刻画它们之间的关系.由得：故所求回归方程为：因此，对于身高172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为：是斜率的估计值，说明身高x每增加1个单位

4、时，体重y就增加0.849个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描述它们之间线性相关关系的强弱？相关系数相关系数的性质(1)

5、r

6、≤1．(2)

7、r

8、越接近于1，相关程度越强；

9、r

10、越接近于0，相关程度越弱．注:b与r同号问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？r相关系数ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常：r∈[-1,-0.75]--负相关很强;r∈[0.75,1]—正相关很强;r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般;r∈[0.3,0.75]—正相关一般;r∈[-0.25,0.2

11、5]--相关性较弱;对r进行显著性检验r某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示.编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.故所求回归方程为：r=0.798表明体重与身高有很强的线性相关性，从而说明我们建立的回归模型是有意义的.认为她的平均体重的估计值是60.316kg.因为所有的样本点不共线，所以线性函数模型只能近似地刻画身高和体重之

12、间的关系，即：体重不仅受身高的影响，还受其他因素的影响，把这种影响的结果用e来表示，从而把线性函数模型修改为线性回归模型：y=bx+a+e.其中，e包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分.线性回归模型其中a和b为模型的未知参数，e是y与之间的误差，通常e为随机变量，称为随机误差.均值E(e)=0，方差D(e)=σ2>0线性回归模型的完整表达式为：线性回归模型适用范围比一次函数的适用范围大得多.当随机误差e恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型.即：一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次

13、函数模型的一般形式.随机误差是引起预报值与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差.和为截距和斜率的估计值，它们与真实值a和b之间存在误差是引起预报值与真实值y之间的误差的另一个原因.随机误差e的主要来源：（1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，但我们并不知道到底是什么）所引起的误差.可能存在非线性的函数能更好的描述y与x之间的关系，但我们现在却用线性函数来表述这种关系，结果就产生误差，这种由于模型近似所引起的误差包含在e中.（2）忽略了某些因素的影响.影响变量y的因素不止变量x

14、一个，可能还有其他因素，但通常它们每一个因素的影响可能都比较小，它们的影响都体现在e中.（3）观测误差.由于测量工具等原因，得到的y的观测值一般是有误差的，这样的误差也包含在e中.以上三项误差越小，则回归模型的拟合效果越好.在线性回归模型中，e是用预报真实值y的误差，它是一个不可观测的量，那么该怎样研究随机误差，如何衡量预报的精度？由于随机误差e的均值为0，故采用方差来衡量随机误差的大