D110闭区间上连续函数的性质(I)

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1、第十节一、最值定理二、介值定理*三、一致连续性闭区间上连续函数的性质第一章注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证明略)点,例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,二、介值定理由定理1可知有证:设上有界.定理2.(零点定理)至少有一点且使(证明略)推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理3.(介值定理)设且则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:在闭区间上的连续函数使至少有必

2、取得介于最小值与最大值之间的任何值.例.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则内容小结*三.一致连续性已知函数在区间I上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义:对任意的都有在I上一致连续.显然:例如,但不一致连续.因为取点则可以任意小但这说明在(0,1]上不一致连续.定理4.上一致连续.(证明略)思考:P74题*7提示:设存在,作辅助函数显然内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存

3、在上有界;在在1.任给一张面积为A的纸片(如图),证明必可将它思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:则证明至少存在使提示:令则易证2.设作业P74(习题1－10）2;3;5一点习题课备用题至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.