1.4、角平分线（一）

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1、天府新区大林中学课题1.4、角平分线(一)课时1课型新授课教学目标1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理，会用这两个定理解决一些简单问题。2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。教学重点角平分线性质定理及其逆定理。教学难点掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。教学方法小组合作探究学习法教学内容及过程教师活动学生活动引入新课：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中

2、，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗?讲授新课：请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。你能写出这个定理的逆命题吗?我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过

3、构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角拿出准备好的纸折的角，在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次，观察折痕的性质。由折纸的过程，可以观察到折痕和角的边垂直，并且对应的折痕长度相等。说出猜想：折痕和角的两边垂直，并且对应的折痕长度相等。说明白已是通

4、过折纸的过程和观察得到上述猜测的。加深对角平分线性质定理的理解。朗读：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。在读的同时加强记忆和理解。天府新区大林中学的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．如上图所示，到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题。在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

5、它是真命题吗?你能证明它吗?证明如下：已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。角平分线的判定定理：在一个角的内部

6、，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。做一做：你能用什么办法平分一个已知角呢?能利用角平分线的性质定理和判定定理平分一个角吗？请在小组内交流．学生提出：可以用量角器、三角尺、角尺等以前常见的方法．教师提出：学习的是用直尺和圆规平分一个已知角．已知：∠AOB(如图)求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．2．分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在么AOB内交于点C．3．作射线OCOC就是∠AOB的平分线．(教学时，教师

7、可以边介绍作法，边让学生动手完成整个操作过程)完成做法后，请学生说明OC为什么是∠AOB的平分线，与同伴交流．从作图的过程中，不难发现回忆有关线段垂直平分线的知识，知道线段垂直平分线的性质定理和判定定理互为逆定理，通过类比联想，知道对于角平分线，也有类似的结论。回答：角平分线和要证明的命题是互逆命题。回忆线段垂直平分线性质定理的逆定理的构造方法，写出角平分线性质定理的逆定理。与同桌互相检查。联想线段垂直平分线性质定理和判定定理的关系，有助于理解角平分线性质定理和判定定理的关系。依据作图的过程，参照老

8、师的讲解，写出已知和求作以及作法。有的学生可能写得不够规范。思考这样的作法的合理性，添加辅助线，对作出来的射线给以证明。找到思路后，与同伴交流。大多数学生可以通过证明三角形全等说出理由。天府新区大林中学OD=OE，CE=CD，OC=OC，∴△OCEC≌△OCD(SSS)．∴∠1=∠2，即OC是∠AOB的角平分线．随堂练习如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？解：∵AD平分∠CAB．∴又∠1=∠2=12∠CAB又∵AE平分∠CAF