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时间:2019-06-14
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1、反比例函数中的面积问题 学生学案(课前任务)1、写出与反比例函数有关的一些问题的思维导图;2、思考题:如图,S正方形OABC=1点O为坐标原点,点B在反比例函数y=(k>0,x>0)的图像上点P(m,n)是函数y=(k>0,x>0)的图像上的任意一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点E、F,并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.(友情提示:考虑点P在点B的左侧或右侧两种情况)(1)求B点的坐标是___________;k=__________;(2)当S=时,点P的坐标是_______________;
2、 (3)写出S关于m的 函数关系式及其自变量的取值范围. 课程设计:【教材分析】本节课是在学生对反比例函数基础知识、基本技能、基本思想、基本应用有一定的系统归纳与总结的基础上进行的。不仅要完善学生的知识结构图,而且通过系列有层次的训练,让学生加深对函数内涵以及变化与对应的理解。鉴于以上认识,在再现巩固的基础上,作一些适当的拓展,加强它与面积、勾股定理、一次函数等知识的联系,使学生融汇知识,进而进一步理解知识。【教学目标】1、熟练用反比例函数关系式,已知两个量求出第三个量.2、理解反比例函数中一些特殊图形的面积特点及与“k”之间的关
3、系,并能用于计算.3、构建反比例函数的知识体系.4、能解答反比例函数背景下的一些综合问题.【教学重难点】教学重点:1、用反比例函数关系式,已知两个量求第三个量.2、理解反比例函数中一些特殊图形的面积特点与“k”之间的关系,并能用于计算.3、构建反比例函数的知识体系.教学难点:1、反比例函数背景下的综合问题.教学过程:一、回顾旧知,构建知识体系二、知能训练,提高认识(一)若点P在反比例函数图像上【例题1】点P在反比例函数y=上,PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,求S△POM,S矩形OMPN.
4、 【变式1】点P在反比例函数y=上,PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,求S△POM,S矩形OMPN.【变式2】点P1,P2在反比例函数图象的同一支上,分别过点P1,P2作x轴y轴的垂线,如图所示,求证:S1=S2 .【变式3】如图,在反比例函数y=(x>0)的图象上,有点P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作轴与轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,则S1+S2+S3= ;【变式4】在反比例函数y=(x>0)的图象上,有点P1,P2,P3,
5、……Pn,它们的横坐标依次为1,2,3,…n.分别过这些点作x轴、y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3……Sn,请猜想:S1+S2+S3……+Sn= ;【练 习】讲解课前思考题。【设计意图】从反比例函数k的几何意义出发,本着从特殊到一般的数学思想,层层递进,符合学生的认知水平。(二)若点P不在反比例函数图像上【例题2】如图,已知点A,B在双曲线y=(x>0)上,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D,AC与BD交于点P,P是AC的中点,① 若S△ABP=3,求k的值;② 求证S△ABP为定值.
6、 【例题3】已知点P在反比例函数y=的上方,且点 P坐标为(m,),PM⊥x轴于点 C,交y=的图像于点A,PN⊥y轴于点N,交y=的图像于点B,BD⊥x轴于点D,AC⊥y轴于点C,BD与AC相交于点H. (1)求证:S△OBN=S△OAM (2)求证:S四边形PAOB不变(3)求:PA:AM的比值.(4)求S四边形HCOD .(5)连接AD、AB、BC、CD,判断AB、CD的位置关系,并说明理由。【设计意图】从点P在反比例函数图像上发散到点P不在反比例函数图像上,(1)(2)(4)两问中面积的问题可以得到类似的结论,便于学生对同
7、一类问题的学习和总结。(3)反比例函数中线段与坐标的问题,需从坐标的特点解决问题。(5)解决的方法有3种:①从线段的K值相同,两直线平行的角度,转化成一次函数的问题;②用“等积法”证明高相等,从而得到两直线平行;③也可利用三角形相似或三角函数的知识证明角相等,从而证明两直线平行。三、反思小结,观点提炼问题1:通过本节课的学习,你对反比例函数有了哪些新的认识?问题2:涉及到哪些常用的思想方法?四、作业训练,能力提升1、必做题:课本复习题第2、3、4题。2、拓展练习:如图,正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A(3,2).
8、(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式;(2)根据图象回答,在第一象限内,当x取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值;(3)M(m,n)是反比例函数图象上的一动点,其中0<m<3,过点M作直线MB∥x轴,交y
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