高二数学函数的极值与导数

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1、1.3.2函数的极值与导数1.在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.2.对x∈(a,b),如果f/(x)≥0,但f/(x)不恒为0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数;对x∈(a,b),如果f/(x)≤0,但f/(x)不恒为0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数.复习用导数判断函数的单调性3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的极值由于二次函数是单峰函数，因此thaoh’(a)=0单调递增h’(t)>0单调递减h’(t)<0观察高台跳水运动图象新课定义一般地,设函数f(x)在点a附近有定义,如果对a附近的所有的点,都有我们

2、就说f(x0)是f(x)的一个极大值,点x0叫做函数y=f(x)的极大值点.我们就说f(x0)是f(x)的一个极小值,极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.定义一般地,设函数f(x)在点b附近有定义,如果对b附近的所有的点,都有点x0叫做函数y=f(x)的极小值点.yabx1x2x3x4Ox练习观察上述图象,试指出该函数的极小值点,极小值,极大值点,极大值.极小值点:x2,x4.极大值点:x1,x3.极小值:f(x2),f(x4).极大值:f(x1),f(x3).abxyO(1)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x0)>0,右侧f/(x0)<0,那么f(

3、x0)是极大值.(2)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x0)<0,右侧f/(x0)>0,那么f(x0)是极小值.函数的极值与导数的关系abxyO函数的极值与导数的关系增f(x)=0f(x)<0极大值减f(x)>0xx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)f(x)>0f(x)<0f(x)=0增减极小值因为所以例1求函数的极值.解:令解得或当,即,或;当,即.当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.

4、求函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况练习P291下图是导函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6X2是极大值点,X4是极小值点.练习P292求下列函数的极值:解:解得列表:x(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有

5、极小值–54.解:解得列表:x(–∞,–1)–1(–1,0)0(0,1)1(1,+∞)000f(x)–++所以,当x=0时,f(x)有极小值1.例:求函数的极值.–假设f/(x0)存在,那么“x0为极值点”与“f/(x0)=0”有何关系？若x0是极值点,则f/(x0)=0;反之,若f/(x0)=0,则x0不一定是极值点.思考？B练习函数在时有极值10，求a，b的值.，解:由题设条件得：解之得通过验证，合乎要求。注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验作业P324,5(2)