4指数与对数函数

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1、指数与对数函数一、指数与对数运算：（一）知识归纳：1．根式的概念：①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根.即，若，则称的次方根，1）当为奇数时，次方根记作；2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作.②性质：1）；2）当为奇数时，；3）当为偶数时，2．幂的有关概念：①规定：1）N*，2），n个3）Q，4）、N*且②性质：1）、Q），2）、Q），3）Q）（注）上述性质对r、R均适用.3．对数的概念：①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数.1）以10为底的对

2、数称常用对数，记作，2）以无理数为底的对数称自然对数，记作②基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数），2），3），4）对数恒等式：③运算性质：如果则1）；2）；3）R）.④换底公式：1），2）（二）学习要点：1．（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底.2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等

3、等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.【例1】解答下述问题：（1）计算：[解析]原式=（2）计算.[解析]分子=；分母=；原式=.（3）化简：[解析]原式=.（4）已知：值.[解析].[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.【例2】解答下述问题：（1）已知，求证：[解析]，=（2）若，求的值.[解析]去分母得，、是二次方程的两实根，且，解得，[评析]例2是更综合一些

4、的指数、对数运算问题，这种问题更接近考试题的形式，应多从这种练习中积累经验.二、指数函数与对数函数（一）学习要点：1．指数函数：①定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为R，2）函数的值域为，3）当时函数为减函数，当时函数为增函数.②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限，2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴），3）对于相同的，函数的图象关于轴对称.③函数值的变化特征：①，②，③①，②，③，2．对数函数：①定义：函数称对数函数，1）函数的定义域为，2）函数的值域

5、为R，3）当时函数为减函数，当时函数为增函数，4）对数函数与指数函数互为反函数.②1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）.4）对于相同的，函数的图象关于轴对称.③函数值的变化特征：①，②，③.①，②，③.（二）学习要点：1．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识.2．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含

6、指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力.【例1】已知是奇函数（其中，（1）求的值；（2）讨论的单调性；（3）求的反函数；（4）当定义域区间为时，的值域为，求的值

7、.[解析]（1）对定义域内的任意恒成立，，当不是奇函数，，（2）定义域为，求导得，①当时，在上都是减函数；②当时，上都是增函数；（另解）设，任取，，，结论同上；（3），（4）上为减函数，命题等价于，即，解得.[评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验.【例2】对于函数，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；（3）若函数在内有意义，求实数a的取值范围；（4）若函数的定义域为，求实数

8、a的值；（5）若函数的值域为，求实数a的值；（6）若函数在内为增函数，求实数a的取值范围.[解答]记，（1）恒成立，，的取值范围是；（2）这是一个较难理解的问题。从“的值域为R”，这点思考，“的值域为R”等价于“能取遍的