第3讲平面向量的数量积18998

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1、第3讲　平面向量的数量积【2013年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模．3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．【复习指导】本节复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，把握数量积的特征和作用，学会应用．重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．　　基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同

2、向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量

3、a

4、

5、b

6、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度

11、a

12、与b在a的方向上的投影

13、b

14、cosθ的数量积．4．向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝

15、a

16、

17、cosθ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝

18、a

19、·

20、b

21、；当a与b反向时，a·b＝－

22、a

23、

24、b

25、，特别的，a·a＝

26、a

27、2或者

28、a

29、＝；(4)cosθ＝；(5)

30、a·b

31、≤

32、a

33、

34、b

35、.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)

36、a

37、＝；(3)cos〈a，b〉＝；(4)

38、a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则

39、a

40、＝(平面内两点间的距离公式)．一个条件两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.两个探究(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．

41、(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120°，而不是60°.双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知

42、a

43、＝3，

44、b

45、＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D.解析　设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.

46、答案　C2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(　　)．A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)·c＝a·(b·c)答案　D3．已知m∈R，a＝(m,1)，若

47、a

48、＝2，则m为(　　)．A．1B.C．±1D．±解析　由

49、a

50、＝＝2，得m＝±.答案　D4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于(　　)．A．9B．4C．0D．－4解析　a－b＝(1－x,4)．由a⊥(a－b)，得1－x＋

51、8＝0.∴x＝9.答案　A5．(2011·福建)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b＝________.解析　a·b＝1×(－1)＋1×2＝1.答案　1　　考向一　求两平面向量的数量积【例1】►(2011·合肥模拟)在△ABC中，M是BC的中点，

52、

53、＝1，＝2，则·(＋)＝________.[审题视点]由M是BC的中点，得＋＝2.解析　如图，因为M是BC的中点，所以＋＝2，又＝2，

54、

55、＝1，所以·(＋)＝·2＝－4

56、

57、2＝－

58、

59、2＝－，故填－.答案　－当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量

60、加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识．【训练1】如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.解析　＝＋，故·＝·(＋)＝·＋·.而＝－，⊥.所以·＝－CA2＝－8.答案　－8考向二　利用平面向量数量积求夹角与模【例2】►已知

61、a

62、＝4，

63、b

64、＝3，(2a－3b)·(