函数极限的性质和收敛准则

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1、§1.6函数极限的性质和收敛准则上一节我们引入了六种函数极限，即⑴limf(x)⑵limf(x)⑶limf(x)x→+∞x→−∞x→∞⑷limf(x)⑸limf(x)⑹limf(x)+−x→ax→ax→a它们具有与数列极限相类似的性质和收敛准则，证明方法也相类似。我们这里仅就第⑹种类型的极限作为代表来叙述其某些性质并证明其中一些，其他五种情形的性质及证明只要相应修改一下即可。一、函数极限的性质Th1（唯一性）如果limf(x)存在，则必定唯一。x→a证一：设limf(x)=A，limf(x)=B。则x→ax→a∀ε>0,∃δ>0,当0<

2、x−a

3、<δ时，

4、f(

5、x)−A

6、<ε……（1）11∃δ>0,当0<

7、x−a

8、<δ时，

9、f(x)−B

10、<ε……（2）22取δ=min{δδ}，则当0B，取ε=，则∃δ>0，使0x→ax→a2当0

11、果limf(x)存在，则∃Ua()使f(x)在Ua()内有界。x→a证：设limf(x)=b，则对ε=1，∃δ>0，当0c，则∃δ>0，当0g(x)；002）若∃δ>0，当0

12、>0使当0

13、imf(x)。x→ax→ax→aTh5（复合函数求极限法则）（或叫变量替换法则）若limg(x)=A，limf(u)=B，则当下面两个条件x→au→Ao1）∃δ>0，当xUa∈(,)δ时，g(x)≠A2）f在A点有定义且B=f(A)有一个满足时都有limf(g(x))=limf(u)=Bx→au→A（证略）。求极限之例：2x2+2x+5limx+lim2x+lim54x→−1x→−1x→−1例1：lim===222x→−1x+1limx+lim12x→−1x→−113例2：lim(−)3x→−11+xx+113解：x→−1时,极限都不存在，所以不能直接应用四则

14、运算法则。但当x≠−1时31+xx+113(x+1)(x−2)x−2有−==3321+xx+1x+1x−x−113x−2lim(x−2)x→−1所以lim(−)=lim==L=−1322x→−11+xx+1x→−1x−x+1lim(x−x+1)x→−122x−3x+1例3：lim2x→∞3x−x−12212x−3x+12−3x+1x解：由于lim=0，而=，故22x→∞x3x−x−13−1x−1x22lim(2−3x+1x)=2−0+0=2且lim(3−1x−1x)=3−0−0=3x→∞x→∞2因此，原式=。322例4：lim(x+4x−x+3)x→+∞224

15、3xx−43−解：由于(4xxx+−+=3)=，xxx22+++4314+++x13x43−xlim(43)−x4x→+∞故原式==lim==2x→+∞14+++xx13lim14++xlim13+x11+xx→+∞→+∞其中，lim1+4x=1的求法是根据lim(1+4x)=1、limu=a（上节习题）及x→+∞x→+∞u→a复合函数求极限法则而得。例5：证明limax=1,limax=ax0.(a>0,a≠1)x→0x→x0（留作自学内容。书上有）。311+−x例6：limx→0x解：令1+x=t，则x→0时t→1；且当x≠0时t≠1。3311+−xt−1

16、11αα故lim==limlim==,