解指数函数和对数函数综合题的方法和策略

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1、解指数函数和对数函数综合题的方法和策略一、定义域问题和值域问题：Ⅰ）定义域和值域例1已知函数例2（1）定义域是R，求的取值范围.（2）值域是R，求的取值范围。分析：在已知对数函数的定义域是R与值域是R，求其中参数的取值范围时，要注意它们是有明显区别的。解：（1）因为函数的定义域是R，故而对任意有恒成立。、时，左边=恒成立；、时，由二次函数的性质可得：（2）因为函数的值域是R，故而有2）定义域和有意义例3已知函数例4(1)若此函数在(-∞,1)上有意义，求的取值范围.(2)若此函数的定义域为(-∞,1)，求的取值范围.分析：

2、注意定义域和有意义是有区别的。区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决（这里转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值）(1)解：（1）因为函数在(-∞,1)上有意义，即在(-∞,1)上有意义，所以有：、时，在(-∞,1)上有意义；5、时，由二次函数的性质可得：或解得：综上所述：此函数在(-∞,1)上有意义，的取值范围为或。(2)（2）若函数的定义域为(-∞,1)，则在内恒成立。从而有因为时，，所以，从而的取值范围是。二、单调性问题对于复合函数的单调性问题，要分两步

3、进行：第一先考虑定义域；第二再考虑单调性，在这一步中，要注意复合函数的单调性的判定法则（同向为增，异向为减。简称“同增异减”）。例3、求函数单调区间。分析：先考虑定义域，由，即函数的定义域为；又由在上递减，上递在增，且。略解：由分析可得在上递增，上递减。三、对称性问题和奇偶性问题：（1）若函数在其定义域上满足，则函数的图象关于直线对称；（2）奇偶性问题的判定方法：1、先特殊判定，后定义证明；2、是对数函数的，先考虑真数，后证明结论。例4、已知函数，讨论的奇偶性。分析一：由题意易知函数的定义域为，当时，，当时，，据此可判定的

4、奇偶性。分析二：由，得，据此也可判定的奇偶性。5解：由题意易得函数的定义域为，且，即，所以函数是奇函数。例5、设是定义在R上的奇函数，且满足，若时，，求在上的解析式。分析：由定义在R上且满足可知：函数的图象关于直线对称；又时，，所以时，。设，则，此时。又是定义在R上的奇函数，所以，即在上的解析式为，。例6、设是定义在[-1，1]上的偶函数，与的图象关于直线对称。且当时，，求函数的表达式；解：注意到是定义在区间上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出在区间上的解析式，在区间上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求。当时，，由于

5、与的图象关于直线对称，所以，当时，，由为偶函数，可知：所以，四、周期性问题在函数的定义域内，存在非零常数T，使得，则函数叫做周期函数，T叫做函数的一个周期。推广：若T是函数的一个周期，则例7、已知奇函数满足，当时，，则5。分析：设，则，由题意知，因为是奇函数，所以，。设，则，从而。又函数满足，所以，由于，所以。五、换元法解综合题例8、设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．解：令则原不等式化为,此不等式恒成立，故由得0

6、：x≤1是不等式的解，∵①，如果①的解集为x∈R，与条件矛盾，故a<0。a<0时①等价于5，又5