垂径定理教学案例

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1、<垂径定理》教学案例一、教学目标知识与技能1、研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论.2、学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。过程与方法经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。情感态度价值观在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。教学重点垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。教学难点垂径定理及其推论的运用。教具圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件学情分析本节课是在上节课学习了圆的概念及弧、弦等概念的基础上的一节课。在上

2、节课结束时留给学生这样一个问题“你还想进一步研究什么?”通过学习，学生很容易联系到上节课学习了圆、弧、弦、直径、半径等有关知识。那么圆内这些元素还具有哪些性质呢?学生自然地从上节课过渡到这节课的学习，同时培养了学生勤于动脑，勤于思考的好习惯，激发了学生学习的兴趣与热情。本节课主要有两方面的内容：一是圆的轴对称性，二是垂径定理及其推论。开始以赵州桥的问题引入课题，带着问题进行学习。圆的轴对称性主要是通过动手操作得出结论，圆是轴对称图形，根据轴对称性进一步研究圆中相等的弦、弧得出垂径定理及其推论。利用此定理再去解决赵州桥问题，每一个环节都是环环相

3、扣，不是孤立存在的。二、教学过程（一）创设情境导入新课1.将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？2.将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？3.一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？4.赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？师生行为:前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。（二）合作交流探究新知1.圆的对称性（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？2.垂径定理（思考）如图：AB是⊙O的一条

4、弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。①这个图形是对称图形吗②你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。③你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。①你能用几何方法证明这些结论吗？②你能用符号语言表达这个结论吗？3．垂径定理的推论如上图，若直径CD平分弦AB则①直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？②你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）③如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？师生行为：圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。教师循序渐进地

5、将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并板书。教师明确定理中的条件和结论，初步理解“知二得三”口诀的含义。教师提醒学生此中的弦一定不能是直径。垂径定理的内容比较多，且为考察重点，非一课时所能解决，所以此内容最少需两课时来探究。本节课主要探讨垂径定理及第1条推论，还有它们的应用。而其它推论和更深入的应用，放在下一节课进行研究。（三）灵活应用提高能力简单应用如图，在⊙O中，直径MN⊥

6、AB于C，则下列结论错误的是（）A、AC=BCB、AN=BNC、OC=CND、AM=BM1、典型应用如图。在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OD=3cm，则⊙O的半径为cm（1）连结什么可得到一个直角三形？（2）利用什么知识可以解得半径。（3）从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？2、生活中的应用如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD为7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗?提示：此中直角三角形AOD中只有AD是已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程。3

7、、利用垂径定理进行的几何证明教材练习第2题。简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判.师生行为：在典型应用中教师可通过问题设置,引导学生联系弦、半径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角形，利用勾股定理解决问题。这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。此题是垂径定理计算题中另一种题型，主要利用将垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用。教师在提示后让学生进行小组讨论，然后进行总结，得出结论，让学生做好笔记，养成良好的学习习惯。本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。（四）小结升华与作业本节课你学到了哪

8、些数学知识？在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？这些方法中你又用到了哪些数学思想？师生行为：教师提出问题，学生回顾本节课所学知识，自己进行小结，养成梳理