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1、管理工程学报Vol123,No14JournalofIndustrialEngineeringPEngineeringManagement2009年第4期研究简报金融市场的多分形特征及与波动率测度的关系王鹏,魏宇(西南交通大学经济管理学院,四川成都610031)摘要:以上证综指和标准普尔500指数的高频价格数据为样本,运用多分形谱分析(Multifractalspectrumanalysis)方法研究了两种指数价格变化的多分形特征。结果表明:多分形特征存在于这两种指数价格的波动中,多分形语言中蕴含了有关金融资产价格波动的丰富信息。最后初步提出了运用多分形理论所
2、提供的工具来进行波动率研究的思路。关键词:价格波动;多分形语言;波动率测度中图分类号:F224文献标识码:A文章编号:100426062(2009)04201662040引言对于S&P500指数,这样的每天高频股价记录数量为80近年来,许多针对金融资产价格变化行为的研究表明,个①。实际价格波动所形成的收益率分布除了具有有偏(skewed)和112两种指数价格序列的多分形特征分析[1～3]H¨older指数α和多分形谱(multifractalspectrum)f(α)是描“尖峰胖尾”(leptokurticandfattailed)等非正态特征外,还具有一种重
3、要的非线性特征———多分形(multifractal)特述多分形对象特征的一套基本语言。以上证综指为例,采用[4～8]“数盒子”(box2counting)方法计算股价序列的α和f(α)的一征。[6,10]金融市场多分形特征的发现对于金融学的研究与发展般过程如下:具有重大的理论和现实意义。分形理论之父Mandelbrot指(1)假设交易日时间长度为标准化的1,则无重复均匀覆[9]盖上证综指一天中48个高频股价记录的盒子长度分别可以出,多分形理论中蕴含了分形对象复杂波动特征的丰富信息,运用它可以精确分析金融资产价格不同波动规模(风险)取为:1、1P2、1P3、1
4、P4、1P6、1P8、1P12、1P16、1P24、1P48。的不同标度(scale)关系。因此,对于金融市场多分形领域的(2)当盒子长度为δ时,假设覆盖一天中的所有高频股研究不应该只停留在实证检验的层面,而应该进一步挖掘多价记录需要m个盒子,每个盒子内有n个记录,同时记一天分形分析中产生的对市场价格波动研究有益的统计信息。当中的高频股价记录为I(t),第i个盒子中的第j个指数为基于这一认识,本文以两种不同类型金融市场(新兴资本市I(ij),则定义在第i个盒子上的指数概率测度为:Pi(δ)=场和成熟资本市场)的股指价格序列为样本,由分析价格变nk∑I(ij)P
5、∑I(t)(i=1,2,⋯,m,k=48)。若令Nα(δ)表示化的多分形特征出发,充分提炼并深入探讨了多分形理论中j=1t=1所蕴含的有关价格波动的间接统计信息。具有相同H¨older指数α的长度为δ的盒子个数,则有如下幂律(Power2law)关系存在:α1样本数据说明及多分形特征分析Pi(δ)～δ(1)-f(α)111样本数据说明Nα(δ)～δ(2)m本文采用的研究样本为上证综指和S&P500指数的每5q(3)定义分割函数(Partitionfunction)Sq(δ)=∑Pi(δ),分钟高频股价数据,数据时间区间都为2001年3月1日到i=1τ(q)20
6、06年10月10日,每种指数约有1400个交易日。Sq(δ)同样满足幂律关系Sq(δ)～δ。在实际计算时,q的上海证券交易所每个交易日共有4个小时(240分钟)的取值范围以α和f(α)达到饱和值为准,而τ(q)的值可以通连续竞价交易时间,采用每5分钟记录一个数据的方法,上过求取在双对数坐标轴ln(Sq(δ))～ln(δ)上的直线斜率得证综指每天可以产生48个高频股价记录(不包括收盘价)。出,并且通过Legendre变换可以得到:收稿日期:2007212210修回日期:2008205223基金项目:国家自然科学基金资助项目(70501025;70771097);
7、教育部“新世纪优秀人才支持计划”基金资助项目(NCET20820826)作者简介:王鹏(1981—),男,山东宁阳县人,西南交通大学经济管理学院博士研究生,主要研究方向:金融工程、金融计量。①这里将S&P500每天的数据规定在上午9:30到下午16:05之间,主要目的是为了方便后面的多分形计算。—166—Vol123,No14管理工程学报2009年第4期图1上证综指和S&P500指数多分形分析结果dτ(q)情况也说明了这一规律的存在。α=(3)dq我们进一步考虑的是,可以用H¨older指数α的标准差f(α)=αq-τ(q)(4)(Sα)和多分形谱f(α)的标
8、准差(Sf)表示一天中α和f(α)分若
