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1、整式的乘法奥数辅导系列例1.（第14届希望杯）如果，则=__________.解:由已知得,,∴原式=例2.把展开后得+……,则=________.(祖冲之杯)365例3.(2000年武汉)若-x=1,则+--7x+2001的值等于()A.1999B.2001C.2003D.2005解：∵-x=1，∴-x-1=0原式=--3x+-4x-4+2005=3x（-x-1）+4（-x-1）+2005=0+0+2005=2005例4.对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使得n=a+b+ab，则称是一个“好数”，在1～100这1
2、00个自然数中，“好数”共有_______个.解:∵n=a+b+ab,∴n+1=a+1+b+ab=(a+1)(b+1)由此知,“好数”n与1的和为合数.∴1≤n-1≤100,∴2≤n≤101.而在2～100中共有25个质数,且101也是质数,故在2～101这100个自然数中共有合数100-25-1=74个例5.已知=(x-2y+A)(x+y+B)求A,B的值A=-3,B=21.（1999年武汉）设a是一个无理数，且a，b满足ab-a-b+1=0，则b是一个（）A.小于0的有理数B.大于0的有理数C.小于0的无理数D.大于0
3、的无理数由ab-a-b+1=0，得（a-1）（b-1）=0∵a是无理数，∴a-1≠0，b-1=0，∴b=12.（2001全国）若a，b是正数，且满足12345=（111+a）（111-b），则a与b之间的大小关系是（）A.a＞bB.a=bC.a＜bD.不能确定解:∵12345=（111+a）（111-b）=+111（a-b）-ab∴111（a-b）=12345-+ab=24+ab，由于a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴24+ab＞0，即a-b＞0，∴a＞b。3.(北京市迎春杯)已知,,,.那么a,b,c,d从小到大的顺序是()
4、A.a＜b＜c＜dB.a＜b＜d＜cC.b＜a＜c＜dD.a＜d＜b＜cD4.(上海市普陀区竞赛)设a,b,c,d都是自然数,且,,a-c=17,则d-b的值为()A.261B.269C.273D.275解：设，（m，n为自然数），则由已知得，即因17是质数，,是自然数。所以,，解得m=3，n=8。B5.(2000美国)如果有两个因式x+1和x+2,则a+b=()A.8B.7C.15D.216.若x是正整数,设,则()A.y一定是完全平方数B.存在有限个x,使y是完全平方数C.y一定不是完全平方数D.存在无限多个x,使y是
5、完全平方数D解:=(x+1)〔〕C7.(1999年第10届希望杯)若有一个因式是x+1,则k=_________.-58.(2002绍兴竞赛)若2x+5y-3=0,则=_______.9.(“英才杯”竞赛)a,b,c,d都是正数,且则a,b,c,d中,最大的一个是_________.10.(北京市竞赛)若则=________.8b-12011.(1999年江苏)已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且,,那么的值为________.,提示:∵(a+c)(a+d)=1=(b+c)(b+d),∴(a-b)(a+b+c+d)=0
6、而a≠b,∴a+b+c+d=0,即b+c=-(a+d)∴(a+c)(b+c)=-(a+c)(a+d)=-112.(2004年广西)已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A.2b＜a+cB.2b=a+cC.2b＞a+cD.a+b＞c13.(1997年上海)已知x-y-2=0,,则-y的值为__________.解:将x-y-2=0,,变形得x=y+2,=,得x-=3/2y,∴-y==3/2.14.(1990年江苏竞赛)若,,且m≠n,则=__________.解:把已知两式相减,得∵m≠n∴m-n≠0,于是m+n=1∵=m=
7、m=m()=m(3m+2)==5m+3同理=5n+3∴=5(m+n)+6=5+6=1115.在展开式中,的系数是1,x的系数是9,求整数a,b的值.提示:直接展开,得到与x项的系数.所以ab-a-b=1①b+ab=9②由①得(a-1)(b-1)=2,a,b为整数,∴有a-1=1a-1=2a-1=-1a-1=-2b-1=2b-1=1b-1=-2b-1=-1由②检验可知,a=2,b=3.16.按下列规则扩充新数.已知a,b两数,可按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c,而a,b,c三个数中任取两数,按规则又可扩充得到一个新数
8、,…,每扩充一个新数叫做一次操作,现有数1和4.(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数;(2)能否通过上述规则扩充得到的新数1999,并说明理由.(1)第1次只能得到1×4+4+1=9,要得到最大新数,第二次应取4和9,得到4×9+4+9=49,第三次应取9和49,得到9×49+9+49=499.
