《3.4 曲线与方程2》同步练习

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1、《3.4曲线与方程(2)》同步练习基础达标一、选择题1．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1，1)为中点的弦的长度为(　　)A．3B．2C．D．[答案]　C[解析]　依题设弦端点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x＋2y＝4，x＋2y＝4，∴x－x＝－2(y－y)，∴此弦斜率k＝＝－＝－，∴此弦直线方程y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋代入x2＋2y2＝4，整理得3x2－6x＋1＝0，∴x1·x2＝，x1＋x2＝2.∴

2、AB

3、＝·＝·＝.2．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点F作弦AB，若

4、AF

5、＝d1，

6、FB

7、＝

8、d2，则＋的值为(　　)A．B．C．D．与AB的斜率有关[答案]　B[解析]　(特例法)弦AB垂直于x轴时，将x＝c代入椭圆方程得y＝±，此时d1＝d2＝，则＋＝.弦AB在x轴上时，d1＝a＋c，d2＝a－c，∴＋＝＋＝＝.3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是(　　)A．(－，)B．(0，)C．(－，0)D．(－，－1)[答案]　D[分析]　直线与双曲线右支交于不同两点，则由直线与双曲线消去y得到的方程组应有两正根，从而Δ>0，x1＋x2>0，x1x2>0，二次项系数

9、≠0.[解析]　由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.由题意，得解得－

10、AB

11、＝

12、x1－x2

13、＝＝·＝3∴＝3，∴m＝2.5．(2014·安徽理)若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0

14、AF1

15、＝3

16、F1B

17、，A

18、F2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．[答案]　x2＋y2＝1[解析]　本题考查椭圆方程的求法．如图，由题意，

19、AF2

20、＝b2，又∵

21、AF2

22、＝3

23、BF1

24、，∴B点坐标(－c，－b2)，代入椭圆方程∴方程为x2＋y2＝1.三、解答题6．设点F，动圆P经过点F且和直线y＝－相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线w.(1)求曲线w的方程；(2)过点F作互相垂直的直线l1、l2，分别交曲线w于A、C和B、D两个点，求四边形ABCD面积的最小值．[解析]　(1)由抛物线的定义知点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，＝，即p＝3

25、，∴w：x2＝6y.(2)设AC：y＝kx＋，由⇒x2－6kx－9＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，易求

26、AC

27、＝6(k2＋1)，∵l1与l2互相垂直，∴以－换k得

28、BD

29、＝6，SABCD＝

30、AC

31、

32、BD

33、＝×6(k2＋1)×6＝18≥18(2＋2)＝72，当k＝±1时取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为72.能力提升一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若弦AB中点的横坐标为2，则k＝(　　)A．2或－1B．－1C．2D．3[答案]　C[解析]　由联立消去y，得k2x2－4(k

34、＋21)x＋4＝0.由韦达定理可得xA＋xB＝.∵弦AB中点的横坐标为2，∴2＝.∴k＝2或k＝－1.∵直线与抛物线相交于A、B两点，∴Δ＝16(k＋2)2－16k2>0.[来源:学科网]∴k>－1.∴k＝－1应舍去．故选C.2．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是(　　)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1[答案]　D[解析]　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，依题意c＝，∴方程可化为－＝1.由得，(7－2a2)x2＋

35、2a2x－8a2＋a4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.∵＝－，∴＝－，解得a2＝2.故所求双曲线方程为－＝1，故选D.3．直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)A．m≥或m≤－B．－≤m≤且m≠0C．m∈RD．－≤m≤[答案]　D[解析]　由方程组消去y，整理得(1－m2)x2－2mx－2＝0，若直线与双曲线总有公共点，当m≠±1时，则Δ＝8－4m2≥0恒成立，当m＝±1时显然也适合题意，故m∈[－，]．4．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y＜4x

36、0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与C(　　)A．恰有一个公共点B．恰有两个公共点C．可能有一个公点，也可能有两个公共点D．没有公共点[答案]　D[解析]　联立整理得y2－2y0y＋4x0＝0.∵y＜4x0，∴Δ＝4y－16x0＜0，∴方程无解，即直线l与抛物线C无交点．5．(2014·