二对坐标的曲线积分的计算法

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1、二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分间的联系一、对坐标曲线积分的概念第四节　对坐标的曲线积分第五模块二重积分与曲线积分一、对坐标曲线积分的概念引例变力沿曲线所作的功.设一质点在力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用下，在xy平面上沿曲线L从点A移动到点B，求变力F(x,y)所作的功.将有向弧段L任分为n个有向子弧段，即用点A=M0(x0,y0)，M1(x1,y1)，，Mn(xn,yn)=B把有向曲线L分成n个有向小段，它相应的有向弦段为第i段有向曲线弧段为Mi-1Mi(i=1,2,,n)，Mi-1Mi=(xi)i+(yi)j

2、，B=MnMiMi-1M2M1A=M0(xi,hi)xiyiOF(xi,hi)xy其中xi=xi-xi-1，yi=yi-yi-1是有向小弧段Mi-1Mi分别在x轴和y轴上的投影.如果函数P(x,y)、Q(x,y)在L上连续，则在每段小弧段上，它们的变化就不会太大，因此我们可以用有向弧段Mi-1Mi上任意一点(xi,hi)处受到的力F(xi,hi)=P(xi,hi)i+Q(xi,hi)j，近似代替Mi-1Mi上各点处受到的力.这样，变力F(x,y)沿有向小弧段Mi-1Mi所作的功Wi就近似地等于常力F(xi,hi)沿有向弦段Mi-1Mi所作的功，

3、即WiF(xi,hi)Mi-1Mi=P(xi,hi)xi+Q(xi,hi)yi.于是变力F(x,y)在有向曲线弧MoMn上所作功的近似值为令表示n个小弧段的最大弧长，当0时，上式的右端极限如果存在，则这个极限就是W的精确值，即上述和式的极限，就是如下两个和式的极限与定义设L为xy平面上由点A到点B的有向光滑曲线，即xi=xi–xi-1(yi=yi–yi-1).作和式记xi(或yi)为有向小弧段Mi-1Mi在x轴(y轴)上的投影，在Mi-1Mi上任取一点(xi,hi)，记为n个小弧段的最大弧长.且函数P(x,y)、Q(x,y)在L

4、上有定义.由点A到点B把L任意地分成n个有向小弧段，记分点为如果存在，则称此极限值为函数P(x,y)、(Q(x,y))在有向曲线Ｌ上对坐标x(对坐标y)的曲线积分.记作对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分.在应用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即简记为称之为组合曲线积分.设Ｌ是有向曲线弧，记Ｌ-是与Ｌ方向相反的有向曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：或若Ｌ=Ｌ1+Ｌ2，则二、对坐标曲线积分的计算法设有向曲线L的参数式方程为x=x(t),y=y(t).又设t=a对应于L的起点，t=b对应于L的终点(这里a不一定小于b)当t由a变到b时，点M(x,y)

5、描出有向曲线L，如果x(t)、y(t)在以a、b为端点的闭区间上具有一阶连续的导数，函数P(x,y)、Q(x,y)在L上连续，则(11.2.1)(11.2.2)证明从略.对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算，其要点是：(1)因为P(x,y)、Q(x,y)定义在曲线L上，所以x、y应分别换为x(t)、y(t)；(2)dx、dy是有向小曲线段在坐标轴上的投影，dx=x(t)dt、dy=y(t)dt；(3)起点A对应的参数t=a是对t积分的下限，终点B对应的参数t=是对t积分的上限.如果有向曲线L的方程为y=y(x)，则这里a是曲线L的起点的横坐标，b是

6、曲线L的终点的横坐标，a不一定小于b.如果L的方程为x=x(y)，则有其中c是曲线L的起点的纵坐标，d是曲线L的终点的纵坐标，c不一定小于d.上式右端的第二个曲线积分化为定积分时，例1试计算曲线积分其中L为沿着抛物线y=x2从点O(0,0)到点A(2,4)再沿直线由点A(2,4)到点B(2,0)解由于曲线积分对路径具有可加性，因此L2为直线段AB.因为dx=0，所以它的值为零.又L1的方程为y=x2，故y1234A(2,4)B(2,0)x=2y=x2L1L2x12O其中L1为曲线弧OA，例2试计算曲线积分其中积分路径为(1)在椭圆，从点A(a,0)经第一

7、、二、三象限到点B(0,-b).(2)在直线上，从点A(a,0)到点B(0,-b).yxAOB解(1)因为所给椭圆的参数方程为且起点A对应的参数t=0.曲线上的对应点描出弧AB，所以有终点B对应的参数，当t由0增大到(2)因为所给线段AB所在的直线方程为且起点A对应于x=a，终点B对应于x=0，所以三、两类曲线积分间的联系则dx=dlcos(t,x),记(t,x)(t,y)分别表示切线向量与x轴y轴正向的夹角.于是由示意图可知dy=dlsin(t,x)=dlcos(t,y),yxOABdydxdlt