分数阶微积分的若干理论及应用

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1、AdissertationsubmittedtoZhengzhouUniversityforthedegreeofMasterSomeTheoreticalPropertiesandExamplesoftheFractionalCalculusByYingyingZhao-⋯Supervisor：Prof．JunguoJiaAppliedMathematicsSchoolofMathematicsandStatisticsApril，2013学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果．除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任

2、何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果．对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．本声明的法律责任由本人承担．学位论文作者：慈孝崖口期：力／≥年岁月诱口学位论文使用授权声明本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大学．根据郑州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州大学可以将本学位论文的全部或部分编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其他复制手段保存论文和汇编本学位论文．本人离校后发表、使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果时，

3、第一署名单位仍然为郑州大学．保密论文在解密后应遵守此规定．学位论文作者：日期：九／；年岁月巧日摘要本文通过研究黎曼刘维尔分数阶积分导数以及卡普托分数阶导数之间的联系，以黎曼刘维尔分数阶积分导数为例在分数阶微积分的层面上对微积分的逐项求积、逐项求导、中值定理、泰勒展式等性质理论进行了推广，并给出了连续不可导函数求a(0<口<1)阶导数，a阶微分方程求解等有关应用．关键词：高阶积分月一L分数阶导数积分Cnputo分数阶导数分数阶积分中值定理分数阶微分中值定理逐项求积逐项求导连续不可导函数的分数阶导数分数阶微分方程的解AbstractThispapergivesthedefinitio

4、nofRiemarm-Liouvillefractionalintegral，derivativeandCaputofractionalderivative．AccordingtoRiemann．Liouvillefractionalintegralandderivativeasanexampleforthepromotionofsometheoreticalpropertiesofthecalculusinthefractionalcalculuslevel．Andthentwoexamplesofthefractionalintegralandderivativealegiv

5、en．1【eywords：Highorderintegral，Riemann-Liouvillefractionalandintegral，Caputofractionalderivative，fractionalmeanvaluetheorem，thesolutionoffractionaldifferentialequations，fractionaldeftvativeoffunctionII日录目录1前言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．81日¨舌⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．81．1问题的背景⋯⋯⋯

6、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯81．2符号⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯31．3本文的内容⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯42分数阶积分和导数的概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．52．1高阶积分和高阶积分函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯52．2黎曼一刘维尔分数阶积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．62．3黎曼一刘维尔分数阶导数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．72．4卡普托(Caputo)分数阶导数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．103分数阶积分和导数的性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1

7、33．1分数阶积分中值定理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．133．2分数阶微分巾值定理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．173．3泰勒展式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．213．4级数求逐项岱阶导数和积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．234分数阶导数和积分的应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯264．1处处连续处处不可导函数的a阶求导问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．264．2一类口阶微分方程的求解和若干a阶函数的定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．324